Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

Пусть в (3.1.6) А - постоянная матрица,

' = A y, А = const. (3.2.1)

 

В этом случае построение фундаментальной системы решений, или фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.

Будем искать частное решение системы (3.2.1) в виде aе^lx, где l - неизвестный параметр, a - неизвестный постоянный столбец. Подставляя это выражение в (3.2.1), получим lae^lx = Aae^lx. Отсюда делаем вывод, что a должно быть решением алгебраической системы уравнений

 

(А - lЕ) a = 0. (3.2.2)

 

Для того чтобы a было нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы

 (А - lЕ) = 0. (3.2.3)

 

Это уравнение является алгебраическим уравнением степени n и называется характеристическим уравнением уравнения (3.2.1).

Пусть l₁, …, l_n - простые корпи характеристического уравнения (3.2.3). Каждому l_i отвечает a_(i) ¹ 0 (собственный вектор матрицы А), который находится из (3.2.2), где положено l = l_i. В качестве компонент a_(i) можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк, определителя Det (А - l_iЕ).

Теорема 3.2.1. Пусть l₁, …, l_n - простые корни характеристического уравнения (3.2.3) и пусть a_(i) - решение (нетривиальное) уравнения (А - l_iЕ) a = 0. Тогда столбцы a_(i)  (i = 1,..., n) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Доказательство:

Проводится но схеме, которая была использована в гл. 2 п. 2.4. Предположим, что решения a_(i)  линейно зависимы:

 

. (3.2.4)

 

Отсюда имеем

 

 

Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.2.4), содержащему уже n - 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству C₁ a_(i) = 0. Так как хотя бы одна из компонент a_(i), отлична от нуля, то получаем отсюда C₁ = 0, что противоречит (3.2.4).

Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое уравнение (3.2.3) имеет корни l₁, …, l_i кратностей m₁,..., m_i (m₁ +... + m_i = n). Из предыдущего ясно, что a_(i) , где a_(i) - собственный вектор, отвечающий l_i, будет решением уравнения (3.2.1). Каждому l_i в рассматриваемом случае может отвечать несколько собственных векторов, но, вообще говоря, их число р_i £ m_i. Таким образом, решений вида a_(i)  может быть меньше n и они, следовательно, не образуют фундаментальной системы решений.

Для того чтобы выяснить, откуда взять "недостающие" решения, потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть у - решение уравнения (3.2.1). Тогда компоненты у_i, этого решения удовлетворяют системе уравнений

_i1 y₁ +... + a_iny_n - Dy_i = 0, i = l,..., n, (3.2.5)

 

где d - оператор дифференцирования. Определитель Det (A - ED) º M(D) представляет собой некоторый операторный многочлен n-й степени. Если вместо D подставить l, то получится левая часть характеристического уравнения (3.2.3) или характеристический многочлен системы (3.2.1). Так как умножение операторных многочленов можно производить по правилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.2.5) на алгебраические дополнения А_ij(D) определителя Det (A - ED) (умножение понимается как умножение операторов) и суммируя по i, получаем

 (D) y_j = 0, j = l,..., n,

 

а это - дифференциальное уравнение порядка та относительно у_j, характеристический многочлен которого совпадает с характеристическим многочленом системы (3.2.1). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3.2.2. Каждая компонента у_j решения у системы (3.2.1) удовлетворяет уравнению n-го порядка, характеристический многочлен которого равен характеристическому многочлену системы (3.2.1).

Рассмотрим корень l_k кратности m_k. Индекс k будем в нижеследующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только С одним корнем. Этому корню l отвечает решение у системы (3.2.1), j-я компонента которого y_j в силу теоремы 3.2.2, имеет вид

_j = (С_1j + С_2j х +... + С_mj x^{m - 1}) е^lx,

 

где С_kj = const, и, таким образом,

 

 (3.2.6)

 

В этом выражении, однако, поскольку компоненты у_j, не независимы, а связаны системой (3.2.5), постоянные С_kj не являются независимыми.

Оказывается, в выражении (3.2.6) число независимых констант, С_kj равно кратности m корня l. Обоснованием этого факта мы займемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фундаментальной системы решении уравнения (3.2.1).

Обозначим свободные постоянные через C₁,..., C_m. Подставим (3.2.6) в (3.2.1), сократим на е^lx и приравняем члены с одинаковыми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая система m однородных уравнений с m ´ n неизвестными C_kj, которые можно выразить линейно через свободные постоянные C₁,..., C_m. После этого (3.2.6) можно записать в виде

 

у = [С₁ р₁ (х) +... + С_m p_m (х)] e^lx, (3.2.7)

 

где р_i (х) - столбцы, компоненты которых являются вполне определенными многочленами относительно х степени не выше m - 1.

Из (3.2.7) следует, что корню характеристического уравнения l кратности m отвечают m решений вида p_i (x) e^lx (i = l,..., m). Такое построение можно проделать для каждого l_k кратности m_k. В результате получим m₁ +... + m_i, = n решений.

Ниже будет доказано, что полученные описанным способом n решений образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Практически для нахождения фундаментальной системы решений рекомендуется для каждого l написать выражение (3.2.6), затем подставить в (3.2.1) и из полученной указанным выше способом алгебраической системы выразить все постоя иные через свободные постоянные. То, что число свободных постоянных заранее известно и равно, кратности m корня l, помогает решению этой алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг.

Теорема 3.2.3. Существует n линейно независимых постоянных векторов (столбцов) (k = 1,..., s; j_k = 1,..., q_k), удовлетворяющих соотношениям

e _(k1) = l_k e _(k1), e _(k2) = l_k e _(k2) + e _(k1) k = 1, …, s; q₁ + … +q_s = n, (3.2.8)

…………………………..

 

причем сумма q_k, отвечающих одинаковым l_k, равна m, где m - кратность корня l_k характеристического уравнения (3.2.3).

В (3.2.8) через е _(k1) обозначен собственный вектор, отвечающий l_k. Векторы e _(k2),...,  называются присоединенными векторами, порожденными собственным вектором e _k1. Таким образом, каждому l_k отвечают q_k линейно независимых векторов, среди которых один собственный вектор и остальные присоединенные, а всем l₁,..., l_s отвечают n линейно независимых векторов. Напомним, что l_k для разных k могут быть одинаковыми.

Рассмотрим l_k. Ему заведомо отвечает решение у_(k1) = e _(k1)  Оказывается, ему отвечает еще q_k - 1 (и всего, таким образом, q_k) решений, как утверждается следующей теоремой.

Теорема 3.2.4. Каждому l_k отвечает q_k решений вида

_(k1) = e _(k1) exp l_kx,

y_(k2) = (e _(k2) + x e _(k1)) exp (l_kx),

…………………………………………… (3.2.9)

Доказательство. Это нетрудно доказать непосредственной проверкой, пользуясь (3.2.8). Действительно,

 

 

Итак, каждому l_k (k = 1,..., s) отвечает q_k решений вида (3.2.9), и, таким образом, всего имеется q₁ +... + q_s = n решений:

 

 (3.2.10)

Теорема 3.2.5. Решения (3.2.10) образуют фундаментальную систему решений.

Доказательство. Действительно,

 

 

а согласно теореме 3.2.3 столбцы  в количестве q₁ +... + q_s = n являются линейно независимыми и, следовательно, Det W (0) ¹ 0. В силу теоремы 3.1.4 отсюда следует, что решения (3.2.10) линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений. Вернемся теперь к прежней нумерации корней характеристического уравнения, когда нумеруются различные по величине l. Каждому l может отвечать несколько групп решений вида (3.2.10) по числу отвечающих этому l собственных векторов, по общее число решений в этих группах равно кратности m корня l. Таким образом, действительно, линейная комбинация решении, отвечающих данному l, имеет вид (3.2.6), где независимых констант будет m, так как число решений типа (3.2.10), отвечающих этому l, есть m. Заметим, что, как видно из (3.2.9), (3.2.10), старшая степень многочленов в (3.2.6), вообще говоря, меньше, чем т.е. m - 1. При практическом вычислении фундаментальной системы решений можно пользоваться (3.2.9), предварительно найдя все собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.2.6) в исходное уравнение (3.2.1) и выделяя m свободных неизвестных С_kj.

 

Заключение

 

В ходе дипломной работы была изучена и проанализирована теория теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изучение данной теории били рассмотрены следующие разделы: линейные обыкновенные уравнения первого, второго и n-го порядков; основные свойства линейного обыкновенного уравнения второго порядка и общие свойства уравнения n-го порядка; однородные и неоднородные уравнения n-го порядка и приложение в котором показаны методы решения линейных уравнений и физических задач, решаемых с использованием линейных уравнений.

По результатом данной работы можно сделать вывод, что в настоящее время разработка методов решения этих задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута на столько, что зачастую исследователь имеющий дело с этой задачей не занимается выбором метода ее решения, а просто обращается к стандартному алгоритму.

Подводя итог, следует заметить, что данная дипломная работа может быть использована для подготовки материалов методического пособия по этой теме.

 

Библиография

 

1.  Бибиков Ю.Н.. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высш. Шк., 1991.-303 с.

2.  Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.

3.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1970.-576 с.

4.  Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,1983.

5.  Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высш. Шк., 1989.-383 с.

6.  Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:Гостехиздат,1959.

7.  Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.-230 с.

8.  Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.

 

 

Приложение

I Найти общее решение уравнений:

 

а) yўў- 7yў + 12y = 0.

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

 

l²-7l+12=0

 

т.к. корни характеристическое уравнение различны, то общее решение данного уравнения имеет вид

 

Ответ:

б) yўў + 4yў + 13y = 0

Решение:

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид

 

l² - 4l +13 = 0.

 

т.к. корнями характеристическое уравнение являются комплексно сопряженные числа, то общее решение заданного уравнения имеет вид

 

y = e^ax(C₁ cos bx +C₂ sin bx),

где a = - 2 и b = 3 Откуда= e^-2x(C₁ cos 3x +C₂ sin 3x)

Ответ: y = e^-2x(C₁ cos 3x +C₂ sin 3x)

в) yўў- 6yў + 9y = 0

Решение:

Составим характеристическое уравнение

 

l² - 6l + 9 = 0, (l - 3)² = 0, l_1,2 = 3

 

т.к. корнями характеристическое уравнение имеет корень второй кратности, то общее решение для данного уравнения имеет вид

 

y = (C₁ + C₂ x) e^lx

Ю y = (C₁ + C₂ x) e^3x

Ответ: y = (C₁ + C₂ x) e^3x

 Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указаным начальным условиям:

 

а) yўў - 5yў + 6y = 0, y(0) = , yў(0) =1.

 

Найдем общее решение исходного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни

 

l² - 5l + 6 = 0

= C₁e^2x + C₂e^3x

 

Найдем yў и значение функций y(0) и yў(0)

ў = (C₁e^2x + C₂e^3x)ў = 2C₁e^2x + 3C₂e^3x(0) = C₁e^2Ч0 + C₂e^3Ч0 =C₁ + C₂

yў(0) = 2C₁e^2Ч0 + 3C₂e^3Ч0 = 2C₁ + 3C₂

 

Исходя их начальных условий составим систему двух уравнений

 

 

Подставим в формулу общего решения, вместо С₁ и С₂ их значения и найдем частное решение

 

y = e^2x + 0 Ч e^3x = e^2x

Ответ: y = e^2x

б) yўў + 4y = 0, y = - 4, yў = 2

l² + 4 = 0 l² = - 4l_1,2 =± 2i= C₁ cos 2x + C₂ sin 2xў (C₁ cos 2x + C₂ sin 2x)ў = - 2C₁ cos 2x + 2C₂ sin 2x = C₁ cos + C₂ sin = C₁ cos p+ C₂ sin p = C₁(-1)+C₂ Ч n = - C₁

yў = - C₁ sin + C₂ cos = - 2C₁ Ч n +2C₂(-1) = - 2C₂

y4 cos 2x - sin 2x

Ответ: y = 4 cos 2x - sin 2x

в) yўў - 6yў + 9y = 0, y|0| = 0, yў|0| = 2

l²- 6l + 9 = 0 (l-3)² = 0 Ю l_1,2 = 3.= (C₁ + C₂x)e^3xў =((C₁ + C₂x)e^3x)ў = C₂e^3x + 3(C₁ + C₂x)e^3x|0| = (C₁ + C₂ Ч 0)e^{3 Ч0}= C₁ў |0| = C₂e^{3 Ч 0} + 3 (C₁ + C₂ Чn)e^{3 Ч 0} =C₂ + 3C₁

= (0 + 2x)e^3x = 2xe^3x

Ответ: y = 2xe^3x

III. Найти общее решение следующих уравнений

 

yўў + 4yў +y = 4

 

Найдем общее решение однородного уравнения

 

yўў + 4yў +y = 0.

l² + 4l +1 = 0 l_1,2 = -

 

Общее решение будет имеет вид

 

 

y = C₁e^lx + C₂e^l2X₀₀ = C₁

 

Общее решение неоднократного уравнения определяется формулой

 

y_он = y_оо+y_чн

 

Для нахождения общего решения неоднократного уравнения, осталось найти частное решение неоднократного уравнения

Частное решение имеет вид

 

y_чн = b₀

yў_чн = 0, yўў_чн = 0

 

Подставляя в исходное уравнение значения частного решения и производных получим частное решение неоднократного уравнения, т.е.

 

+ 4 Ч 0 + b₀ = 4 Ю b₀ = 4_чн = 4._он = С₁

Ответ: y_он = С₁

)yўў - 6yў + 9y = x².

l² + 6l + 9 = 0 Ю l_1,2 = 3 y₀₀ = (C₁ +C₂x) e^3x_чн =b_o +b₁x + b₂x²

yў_чн = b₁ + 2b₂x yўў_чн = 2b₂₂ - 6b₁ - 12b₂x + 9b₀ + 9b₁x + 9b₂x² = x²

_чн = _он = (C₁ + C₂)e^3x + (3x² + 4x +2)

Ответ: y_он = (C₁ + C₂)e^3x + (3x² + 4x +2)

3)yўў +6yў +9y = 12e^-3x

l² + 6l +9 = 0 l_1,2 = - 3_оо = (C₁ + C₂)e^3x_чн = b₀x²e^-3xў_чн = 2 b₀x²e^-3x- 3b₀x²e^-3xўў_чн = 2 b₀e^-3x - 6 b₀xe^-3x - 6 b₀xe^-3x + 9 b₀x²e^-3x = 2 b₀xe^-3x - 12 b₀xe^-3x + 9 b₀x²e^-3x

b₀x²e^-3x - 12 b₀xe^-3x + 2 b₀xe^-3x + 12 b₀xe^-3x - 18 b₀x²e^-3x + 9 b₀x²e^-3x =12e^-3x₀ = 12 Ю b₀ = 6_чн =6 x²e^-3x_он = (C₁ + C₂x) e^-3x +6 x²e^-3x

Ответ: y_он = (C₁ + C₂x) e^-3x +6 x²e^-3x

4)yўў +6yў - 3y = 12 cos ^3x

l² + 6l - 3 = 0 l_1,2 = - 3 ± _оо= _чн=b₀ cos 3x + a₀ sin 3xў_он=-b₀ sin 3x + a₀ cos 3x, yўў_чн= - b₀ cos 3x - a₀ sin 3x

b₀ cos 3x - a₀ sin 3x - 6 b₀ sin 3x + 6a₀ cos 3x - 3b₀ cos 3x - 3a₀ sin 3x = 12 cos 3x

y_чн= - cos 3x + sin 3x

Ответ: y_чн= - cos 3x + sin 3x

)yўў + 4yў = 4xe^-4x

l² + 4l = 0 l = 0, l = - 4_оо = C₁ + C₂e^{- 4x}_чн = x(b₀ + b₁x)e^-4xў_чн = b₁xe^-4x + (b₀ + b₁x)(e^-4x - 4xe^-4x) = b₁xe^-4x + b₀e^-4x - 4 b₀xe^-4x + b₁xe^-4x- 4 b₁x²e^-4x = b₀e^-4x + 2 b₁xe^-4x - 4 b₀xe^-4x - 4 b₁x²e^-4xўў_чн = - 4b₀e^-4x + 2b₁e^-4x - 8 b₁ xe^-4x - 4 b₀e^-4x + 16 b₀xe^-4x- 8 b₁xe^-4x +

+ 16b₁x²e^-4x = - 8 b₀e^-4x + 2 b₀e^-4 - 16 b₁xe^-4x +16b₀xe^-4x + 16 b₀x²e^-4x

y_чн = x(- - x) e^{- 4x} = - (x + 2x²) e^{- 4x}_он = C₁ + C₂e^{- 4x} - e^{- 4x} (x + 2x²)

Ответ: y_он = C₁ + C₂e^{- 4x} - e^{- 4x} (x + 2x²)

6)yўў + y = 2x - 1 + e^5x

l² - 1 = 0 l = ± 1 Ю y_оо = C₁e^x + C₂e^{- x}_оо = C₁ + C₂e^{- 4x}_чн = b₀ + b₁x + b₂e^5xў_{чн =} b₁ + 5b₂e^5xўў_{чн =} 0 + 25 b₂e^5x₂e^5x - b₀ - b₁x + b₂e^5x = 2x - 1+ e^5x

y_он = C₁e^x + C₂e^{- x} -2x + 1 + e^5x

Ответ: y_он = C₁e^x + C₂e^{- x} -2x + 1 + e^5x

 

IV. Найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

1)yўў + y = 3x,y(1) - 1,yў(1) = 0

l² - 1 = 0 l = ± 1_оо = C₁e^x + C₂e^{- x}_чн = b₀ + b₁xў_{чн =} b₁, yўў_чн = 0

- b₀ + b₁x =3x

_он = C₁e^x + C₂e^{- x} -3x_чн (1) = C₁e + C₂e^{- 1} -3ў_он = C₁e^x - C₂e^{- x} -3ў_он (1) = C₁e - C₂e^{- 1} -3

Ответ:

 

Правило отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения

 

вид правой части	Корни характеристического уравнения	частного решения уравнения
Аm(x) - многочлен степени m	Число 0 не является корнем характеристического уравнения	Z = Pm(x)
	Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = xs Pm(x)
Am(x) Ч eaxЧисло Х не является корнем характеристического уравненияZ = Pm(x)eax
	Число Х является корнем характеристического уравнения кратности s	Z = Pm(x) xseax

A_m(x) cos b(x) +

+ Bm(x) sin b(x)Число ± bi не является корнем характеристического уравненияZ =Pm(x) cos bx + Qm(x) sin bx

           Число ± bi является корнем характеристического уравнения кратности sZ = x^s(P_m(x) cos bx +

+ Qm(x) sin bx)

e^ax (A_m(x) cos bx +

+ B_m(x) sin bx)Число a ± i b не является корнем характеристического уравненияZ = e^ax (P_m(x) cos bx

+ Qm(x) sin bx)

           Число a ± i b является корнем характеристического уравнения кратности sZ = e^ax (P_m(x) cos bx

+ Qm(x) sin bx) xs

 

V Задача. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг перпендикулярной ей вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии a_n от оси внутри трубки находится шарик массы m. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была ровна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки.

Решение:

Направим ось координат nx по оси трубки, приняв точку n за начало. Обозначим через x = x(1) координату шарика (точку М) в момент времени t. Так как по условию шарик движется по трубке без трения, то на него действует только центробежная сила f_c = mw²x. Поэтому по второму закону Ньютона для относительного движения имеем mxўў =mwx² или xўў - w²x = 0.

К этому уравнению присоединим начальные условия:

 

x (t₀) = a₀, xў(t₀) = 0

 

Нормальная фундаментальная система решений уравнения имеет вид:

 

 

Использовав её, получим

 

x(t) = a₀ ch w (t - t₀)

Ответ: x(t) = a₀ ch w (t - t₀)

VI Задача. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы m, на который действует периодическая возмущающая сила H sin (nt + j), направленная по вертикали. При отклонении груза на расстояние x от положения равновесия пружина действует на него с силой kx (упругая сила пружины), направленной к положению равновесия; при движении груза со скоростью n сила сопротивления среды ровна bu (H > 0,n > 0, k > 0, 0 < b < m, j - постоянные). Найти движение груза в установившемся режиме и частоту вращающийся силы n_рез (резонансную частоту), при которой амплитуда колебаний груза в установившимся режиме является наибольшей. Найти эту амплитуду.

Решение:

Пусть x = x(t) - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. Согласно второму закону Ньютона, , от суда для определения для определения закона движения x = x(t) груза получаем линейное неоднородное уравнение вида:

 

 

Поскольку p > 0, q > 0, а установившиеся движение груза существует и описывается решением данного уравнения вида:

 

 

Частоту n_рез, при которой амплитуда А(n) колебаний груза в установленном режиме достигает наибольшего значения, можно найти из условия минимума функций

 

y(n) = (q -n²)² + p²n². Имеем

yў(n) = - 4n (q - n²)² +2p²n =, откуда

n_рез =

 

 

амплитуда колебаний груза при резонансе такова:

 

Ответ:

Пример: Найти фундаментальную систему решений

¢₁ = 4y₁ - y₂,y¢₂ = 3y₁ + y₂ - y₃,y¢₃ = y₁ + y₃. (1)

Решение:

Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет корень l₁ = 2 кратности m₁ = n = 3.

 

 (2)

 

Подставляя его в (1), сокращая на е ^2x и приравнивая члены с одинаковыми степенями x, получим следующие 9 уравнений для определения 9 коэффициентов:

 

 (3)

 

Заранее известно, что ранг этой системы равен 6 и свободных неизвестных 3.

Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные в порядке a₀, b₀, с₀, a₁, b₁, с₁, a₂, b₂, с₂, легко видеть, Что правый верхний определитель 6-го порядка отличен от нуля и равен, очевидно, произведению диагональных элементов, т.е. 8, так как справа от главной диагонали - нули. Следовательно, в качестве свободных неизвестных можно взять a₀, b₀, с₀.

Первая группа уравнении (3) уже дает выражения для a₁, b₁, с₁, через a₀, b₀, с₀, а подставляя это во вторую группу уравнений" (3), получим

 

 

Третья группа уравнений (3) обращается автоматически в тождество.

Подставляя полученные выражения в (2) и приводя его к виду (3.2.7), будем, иметь

 

 (4)

 

Здесь a₀, b₀, с₀ - произвольные постоянные (можно ид обозначить C₁, С₂, С₃, как в (3.2.7), векторы р₁(х), р₂(х), р₃(х) усматриваются в правой части (4). Таким образом, получено решение системы (3.2.1) в виде линейной комбинации трех линейно независимых решений p_i (x) e ^2x (i = 1, 2, 3).