Уравнение переноса излучения и уравнение энергии.

Для составления кинетического уравнения переноса излучения для спектральной интенсивности излучения  

где

r – координата;

S – направление распространения излучения;

t – время;

I _n или I _l – спектральная интенсивность излучения; здесь и далее индексы n и l – равнозначны, если отдельно не оговаривается обратное и обозначают зависимость переменной (интенсивности) от частоты (или длины волны) излучения

необходимо знать следующие величины (определяемые из микроскопического анализа или эксперимента), описывающие механизм взаимодействия света с веществом –

спектральные коэффициенты:

поглощения a_n,

рассеяния b_n,

излучения j _n.

Рассмотрим монохроматический пучок лучей интенсивности I _ν, распространяющихся в среде в телесном угле d w (рис.3).

Пусть среда достаточна холодная, так что процессом излучения самого элемента ds можно пренебречь.

На пути ds пучок претерпевает локальное ослабление за счет поглощения и рассеяния в среде. В первом приближении положим, что поглощение света пропорционально ds и I _ν, тогда на элементе длины ds будет поглощена энергия

                                                                    (10.1)

где a_n – спектральный объемный коэффициент поглощения [м^-1] (отношение доли излучения, поглощенного на элементарном отрезке пути, к длине отрезка пути; величина, обратная коэффициенту поглощения имеет размерность длины и в квантовой интерпретации является средней длиной свободного пробега фотона).

Рис. 3.

Кроме поглощения среда может рассеивать фотоны.

Под рассеянием понимается любое изменение в направлении распространения фотонов.

Этот процесс связан с местными неоднородностями среды (объема), например с наличием твердых частиц или капель жидкости, взвешенных в объеме газовой среды.

Кроме того, сами молекулы газа могут также вызывать эффект рассеяния.

Рассеяние существенно влияет на процессы переноса энергии излучения в различных дисперсных средах – в запыленных газовых потоках, туманах, высокопористых изоляционных материалах.

В телесном угле d w среда рассеивает по всем направлениям часть спектральной интенсивности излучения:

,                                                           (10.2)

где β_ν – спектральный коэффициент рассеяния.

Рассеянное излучение обнаруживает некоторое преимущественное направление поляризации.

Однако часто рассматривается однородная и изотропная газовая среда, поэтому считают, что β_ν, не зависит от направления поляризации луча.

Полное ослабление пучка света на длине ds за счет поглощения и рассеяния равно

                                (10.3)

Здесь k _n – спектральный коэффициент ослабления среды (k _n=a_n + β_ν).

Если коэффициенты поглощения a_n и рассеяния β_ν, являются постоянными величинами на участке луча от 0 до s, то, интегрируя (10.3), получим вдоль луча

                                                           (10.4)

где

I _n0 – спектральная интенсивность излучения в точке 0.

Зависимость (10.4) экспериментально установлена и теоретически обоснована П.Бугером в 1729 г. и носит название закона Бугера – Ламберта – Бэра.

Перенос излучения в реальных средах (в атмосферных условиях) в ФЭУ в большинстве случаев определяется излучением и поглощением двух- и трехатомными газами (воздух) и взвешенными твердыми частицами (пыль).

Излучение, распространяющееся в газовой среде в определенном направлении, ослабляется вследствие поглощения, рассеяния и усиливается за счет собственного излучения среды.

Эти явления описываются уравнением переноса излучения, характеризующим изменение интенсивности излучения в какой-либо точке вдоль рассматриваемого направления в излучающей, поглощающей и рассеивающей среде.

Для построения уравнений, описывающих поле плотности того или иного вида излучения, обычно принимают приближение когерентного рассеяния (т.е. предполагается, что рассеяние происходит только по направлениям, а энергетическое взаимодействие фотона с рассеивающим центром, приводящее к изменению длины волны излучения, отсутствует).

В таком случае уравнение переноса излучения имеет вид:

       (10.5)

где I _ν – спектральная интенсивность излучения;

τ – время;

s –координата вдоль луча;

j _ν – собственная спектральная излучательная способность единицы объема (излучение, испускаемое единицей объема в единицу времени в единичном спектральном диапазоне, в единичном телесном угле, осью которого является S);

α_ν, β_ν – коэффициенты поглощения и рассеяния излучения;

γ_ν – индикатрисса рассеяния излучения (функция, характеризующая вероятность рассеяния по разным направлениям, такая, что величина γ_ν(r, Ω΄, Ω) d Ω/4π определяет вероятность того, что излучение, падающее в направлении Ω¢, будет рассеяно в пределах телесного угла d Ω с осью Ω).

Это уравнение является интегродифференциальным.

Для того чтобы получить однозначное решение этого уравнения, необходимо сформулировать к нему начальные и граничные условия.

В начальный момент τ = 0 задается условие

) = ,                                                  (10.6)

где I ⁽⁰⁾_ν – известная заданная функция от координат r, направления S и частоты ν в момент времени τ = 0.

Граничные условия к (10.5) задаются в виде условий в каждой точке граничной поверхности на величину I _n(r, S, t)в зависимости от ее температуры и радиационных характеристик для любого момента времени τ.

Рассмотрим наиболее важные частные случаи, когда уравнение (10.5) существенно упрощается.

1. Рассеяние излучения отсутствует, при этом β_ν=0. Тогда уравнение (10.5) становится дифференциальным:

.                                                        (10.7)

2. В стационарном случае выполняется условие ¶ I _n/¶t=0.

Так как скорость движения вещества υ, входящая в уравнения газодинамики, много меньше скорости света с, то характерные времена переноса энергии излучением t _изл<< t _г. Поэтому практически во многих задачах имеем

.                                                    (10.8)

Это означает, что поле излучения в каждый момент времени можно рассматривать как квазистационарное (почти стационарное), соответствующее мгновенному распределению источников испускания и поглощения (или распределению температуры и плотности вещества), а первый член в уравнении (10.5) можно опустить.

По существу, уравнение переноса излучения является обобщением закона Бугера (Бугера–Ламеберта–Бэра) на случай, когда в интенсивности излучения помимо коэффициента поглощения учитывается и вклад собственного излучения среды.

 

Перечень основных условных обозначений

Общие параметры

λ – длина волны излучения, м (мкм); radiative wavelength

ν – частота излучения, с^-1; frequency of radiation

– волновое число 1/λ, м^-1; wave number

Т, t – температура К; °С; temperature

  р – давление, парциальное давление, Па (атм.); pressure, partial pressure

m – масса, кг; mass

ρ – плотность, кг/м³; density

v– скорость движения, м/с; velocity

c ₀ – скорость света в вакууме, м/с; velocity of light in vacuo

С – теплоемкость газовой среды, Дж/(м³·К); specific heat

λ _q – теплопроводность, Вт/(м·К); conduction heat transfer coeff.

α_к – коэффициент теплоотдачи конвекцией, Вт/(м²·К); convection heat transfer coeff.

σ₀ – постоянная Стефана–Больцмана, Вт/(м²·К⁴); Stefan–Bolzmann constant.