Спектральная интенсивность излучения и основные усредненные характеристики теплового излучения

 

Каждый луч распространяется в определенном направлении S со скоростью света с и несет определенную энергию. Результирующий эффект в данной точке пространства обусловлен суммарным воздействием всех лучей.

Тепловые лучи с макроскопической точки зрения можно характеризовать спектральной интенсивностью излучения I _ν, которая вводится следующим образом (рис. 2).

Рис.2.

Выделим в пространстве элементарную площадку Δ F с нормалью n к ней в точке Р.

Пусть S – единичный вектор, характеризующий направление распространения излучения вдоль луча L, а Δ F_N – элементарная площадка, перпендикулярная вектору S и с площадью, равной Δ F_N = Δ F cosθ.

Пусть Δ W _ν – полное количество энергии, проходящее через площадку Δ F_N внутри интервала телесного угла ΔΩ за время Δ τ в интервале частот ν÷ν+Δν.

Тогда спектральная интенсивность излучения I _ν в точке Р определяется так:

                                 (3.1)

Отметим, что элементарный телесный угол в полярных координатах равен d Ω = sinθ d θ d φ, где φ – азимутальный угол.

Таким образом, с макроскопической точки зрения спектральная интенсивность излучения представляет собой количество электромагнитной энергии, распространяющейся в рассматриваемом направлении за единицу времени, отнесенное к единице телесного угла, к единице поверхности, нормальной к этому направлению, и к единице частотного интервала.

Следует отметить, что тепловое излучение представляет собой более сложное явление, чем теплопроводность, потому что состояние поля излучения в данный момент в определенной точке среды не может быть охарактеризовано одним-единственным вектором, как это может быть сделано для теплопроводности.

Наоборот, тепловые лучи, проходящие в данный момент времени через определенную точку среды, совершенно не зависят друг от друга.

Нельзя считать, что состояние излучения полностью определено до тех пор, пока не будет задана интенсивность излучения по любому из бесчисленного множества направлений, исходящих из данной точки пространства.

При этом нужно учитывать отдельно каждое из двух прямо противоположных направлений, так как излучение в одном направлении совершенно не зависит от излучения в прямо противоположном направлении.

Если функция I _ν не зависит от направления S, то поле излучения называется изотропным; если I _ν не зависит ни от S, ни от r, то поле излучения – гомогенное и изотропное.

Если спектральная интенсивность I _ν известна, количество энергии, проходящее через площадку Δ F в направлении S в интервале d Ω и в интервале частот ν÷ν+ d ν за время dτ, то по определению равно

dW _ν = I _νcosθ dFd Ω d ν dτ.                                                                 (3.2)

Полная по всему спектру частот интенсивность равна

.                                                                        (3.3)

Полная энергия излучения по всему спектру частот выражается формулой

dW = I cosθ dFd Ω dτ.                                                           (3.4)

При решении задач переноса излучения в средах используется понятие интенсивности излучения, главным образом вследствие инвариантности некоторых ее свойств.

1) Так, интенсивность излучения изотропного поля излучения не зависит от направления испускания (инвариантна относительно направления).

2) Рассмотрим теперь второе свойство инвариантности I _ν.

Пусть излучение, испускаемое источником площади dF_N, распространяется в идеальной среде, которая не поглощает, не испускает и не рассеивает излучение и имеет постоянные свойства.

Рассмотрим воображаемую элементарную площадку dA ₁, расположенную на расстоянии R от dF_N, причем обе площадки dF_N и dA ₁ перпендикулярны R (см. рис. 2). В соответствии с определением I _ν энергия, идущая от dF_N к dA ₁, выражается формулой (3.2), при этом dF ´cosq= dF_N. Телесный угол равен d Ω= dA ₁/ R ². С другой стороны, энергия излучения, проходящая через dA ₁ в направлении dF_N, равна

                                             (3.5)

При этом телесный угол равен d Ω₁= dA₁ / R ².

Приравнивая выражение (3.5) к dW _n, полученному в (3.2) в силу идеальных свойств среды, получим I _n = .

Таким образом, интенсивность излучения в данном направлении S в неослабляющей и неизлучающей среде с постоянными свойствами не изменяется вдоль этого направления.

Это свойство интенсивности позволяет ввести удобный способ количественной оценки ослабления или испускания излучения, поскольку эти процессы непосредственно проявляются в изменении I _n с расстоянием.

 

Спектральная плотность поля излучения. Исходной (первичной) величиной, характеризующей поле излучения, является спектральная интенсивность излучения I _n, которая является функцией координат r рассматриваемой точки, времени t, направления S и частоты n: I _n = I _n(r, S, t). Зная I _n, можно определить все остальные величины (скалярные, векторные и тензорные), характеризующие поле излучения. Количество электромагнитной энергии, падающей на плоский элемент поверхности в направлении нормали к нему за единицу времени, приходящееся на единицу его поверхности и на единицу частотного интервала d n, согласно (3.2) равно

                                      (3.6)

Тогда количество энергии в интервале частот d n, протекающей в единицу времени через площадку dF со всех направлений[1], для которых (S × n)³0, равно

                                                   (3.7)

Здесь интеграл вычисляется по верхней полусфере, основанием которой служит площадка dS (см. рис. 2). Интеграл, рассчитанный по нижней полусфере – есть количество энергии в интервале d n, протекающей в единицу времени через площадку dF со всех направлений (S × n)<0:

                                                   (3.8)

Разность односторонних величин  и  определяет проекцию на направление n полного результирующего спектрального потока через указанную площадку E _n:

                                         (3.9).

Поток E _n является векторной величиной и равен:

                                                              (3.10)

Если компоненты вектора спектрального потока излучения по координатным осям х, у, z суть E _{n x}, E _{n y}, E _{n z}, то вектор спектрального лучистого потока в точке r пространства равен

                                (3.11)

где i, j, z – орты вдоль координатных осей.

Величины  представляют собой полусферические лучистые потоки в направлении n (или против n). При изотропном распределении излучения  в сферических координатах для односторонних спектральных потоков получают:

                                       (3.12)

а полный поток излучения через площадку с любой ориентацией равен нулю (E _{n n} =0).

Спектральная объемная плотность энергии излучения u _n(r, t) представляет собой количество лучистой энергии частоты n в интервале частот n÷n+ d n и находящейся в единице объема в точке r в момент времени t. За время dt фотоны заполнят объем dV около точки Р (см. рис. 2), равный dV = dF × cdt (n × S). Так как количество энергии излучения в соответствии с (3.2) равно dW _n = I _n (n W) dFd W dtd n, то величина dW _n/ dVd n= I _n d W/c есть спектральная объемная плотность энергии излучения частоты n, распространяющейся в направлении S в интервале d W. Интегрируя по d W, получают:

                                                                 (3.13)

Для изотропного поля излучения, выполняя интегрирование по углам, получают:

                                                                  (3.14)

Помимо рассмотренных величин, характеризующих перенос энергии излучения, важное значение имеют величины, описывающие перенос импульса (количества движения) поля излучения. Элементарный импульс движущихся фотонов в направлении S, содержащийся в элементарном телесном угле d W и приходящийся на единицу интервала частот через единицу поверхности за единицу времени на основании (12), будет равен

                              (3.15)

где d s – элементарная площадка, перпендикулярная вектору S.

Полные по спектру плотность потока излучения, объемная плотность энергии излучения находятся интегрированием по всему интервалу частот:

                                                   (3.16)

Таким образом, все необходимые макроскопические характеристики поля излучения выражаются через спектральную интенсивность излучения I _n (r, , t).

Спектральный объемный коэффициент ослабления излучения k _ν(r) определяется как сумма спектральных объемных коэффициентов поглощения и рассеяния:

k _ν(r)= α_ν(r)+ β_ν(r).                                                             (3.17)

Спектральная индикатриса рассеяния γ_ν(r, Ω¢, Ω) – это функция, характеризующая вероятность рассеяния по разным направлениям, такая, что величина γ_ν(r, Ω΄, Ω) d Ω/4π определяет вероятность того, что излучение, падающее в направлении Ω¢, будет рассеяно в пределах телесного угла d Ω с осью Ω.

Среда, взаимодействующая с излучением, не только поглощает или рассеивает его, но и испускает спектральное тепловое излучение, что определяет необходимость введения в теорию собственной спектральной излучательной способности единицы объема j _ν(r, Ω, t) – излучения, испускаемого единицей объема, в единицу времени, в единичном спектральном диапазоне, в единичном телесном угле, осью которого является Ω.

Собственная спектральная излучательная способность единицы объема считается изотропной функцией j _ν(r, t) и часто называется также спектральным объемный коэффициентом излучения.

Интегральные характеристики теплового излучения определяются по формуле

F =                                                                         (3.18)

где F _ν – любая спектральная функция, введенная выше, а пределы интегрирования обычно заменяются границами спектрального диапазона, в котором интегрируется уравнение переноса.

Интегральные характеристики теории переноса теплового излучения в спектральных группах определяются по формуле ,

где F _ν – любая спектральная функция; ν₁ и ν₂ – наименьшая и наибольшая границы спектрального диапазона Δν=ν₂–ν₁. В теории переноса теплового излучения часто используется термин спектральная группа, являющийся синонимом понятия спектральный диапазон.

Усредненные по спектральным группам (диапазонам) характеристики теории переноса теплового излучения называются групповыми функциями. Они рассчитываются по формуле

.                                                                     (3.19)