Общий метод расчета на прочность при сложном сопротивлении

Шеронина, И.С.

Ш49 Расчет стержней на прочность при сложных видах нагружения: учебное пособие/ И.С. Шеронина, С.А. Петерсон, А.С. – Ярославль: Издат. дом ЯГТУ, 2019. –  88 с.

 

ISBN 978-5-9914-0740-3

 

 

Учебное пособие разработано по курсам «Сопротивление материалов» и «Техническая механика» в соответствии с государственным общеобразовательным стандартом высшего профессионального образования. В работе изложены основные теоретические положения по теме «Сложное сопротивление». Приведены примеры решения типовых задач  и предложены контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения с целью проверки степени усвоения материала данной темы.

Рекомендовано для студентов механических и строительных направлений очной и заочной формы обучения.

 

УДК 624.072

ББК 30.121

 

 

Рецензенты: АО Ярижком (А.Ю. Юдин, канд. техн. наук, зам. директора); В.П. Панченко, канд. техн. наук, директор по науке и внедрению новых технологий ООО «СОТпрофи».

 

ISBN 978-5-9914-0740-3

 

 

© Ярославский государственный технический университет, 2019

 

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................	5
1. ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ...........................................................	7
1.1. Основные положения..................................................................	7
1.2. Понятия о напряженном состоянии в точке.........................	8
1.3. Линейное (одноосное) напряженное состояние....................	10
1.4. Плоское (двухосное) напряженное состоянии ………….. 1.5. Назначение гипотез прочности……………………………. 2. КОСОЙ ИЗГИБ.................................................................................	11 14 18
2.1. Основные положения.............................................................	18
2.2. Порядок решения задач при косом изгибе.............................	23
2.3. Контрольные вопросы............................................................. 2.4 Пример решения задачи на косой изгиб…………………… 2.5 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Косой изгиб»……………………………...	23 23   28
3. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ…………………………………………….....	33
3.1. Основные положения.................................................................	33
3.2 Внецентренное растяжение (сжатие)………………….........	34
3.3 Порядок решения задач при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия)…………………………………………... 3.4 Контрольные вопросы………………………………............. 3.5 Пример решения задачи на совместное действие изгиба с растяжением (сжатием)………………………………………… 3.6 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия)…………………………………………......	38 39   40   44
4. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ…………………………………………... 4.1 Основные положения……………………………………...... 4.2 Порядок решения задач при совместном действии изгиба и кручения……………………………………………………….. 4.3 Контрольные вопросы……………………………………… 4.4 Пример решения задачи по теме: «Совместное действие изгиба и кручения»……………………………………………… 4.5 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Совместное действие изгиба и кручения…………………………………………………………..	49 49   51 51 51     56
5 КРУЧЕНИЕ С РАСТЯЖЕНИЕМ (СЖАТИЕМ)………………….	61
5.1 Основные положения……………………………………...	61
5.2 Порядок решения задач при совместном действии кручения с растяжением (сжатием)…………………………...	62
5.3 Контрольные вопросы……………………………………..	63
5.4 Примеры решения задач на совместное действие кручения с растяжением (сжатием)…………………………...	63
5.5 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Совместное действия кручения и растяжения (сжатия)»…………………………………………..	68
6 ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ВИТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН, НАГРУЖЕННЫХ ОСЕВЫМИ СИЛАМИ…………….. 6.1 Основные положения………………………………………	73 73
6.2  Контрольные вопросы по теме: «Расчет витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми cилами»…………………………………………………………. 6.3 Примеры расчета цилиндрических пружин, нагруженных осевыми силами………………………………...	76   76
6.4 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Расчет витых цилиндрических пружин, нагруженных осевыми cилами»……………………………….	78
Заключение…………………………………………………………………. Библиографический список........................................................................	79 80
Приложение А. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент по ГОСТ 8239–89.....................................................................	81
Приложение Б. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент по ГОСТ 8240–89.....................................................................	82
Приложение В. Площади, координаты центров тяжести для основных форм сечений.......................................................................	83
Приложение Г. Моменты инерции, моменты сопротивления для основных форм сечений.......................................................................	84
Приложение Д. Радиусы инерции для основных форм сечений.............	85
Приложение Е. Условные обозначения…………………………….	86

Введение.

Настоящее учебное пособие написано в соответствии с учебным планом и программами для машиностроительных специальностей вузов по дисциплине «Сопротивление материалов» и посвящено решению задач по сложному сопротивлению стержней.

Наиболее частыми примерами сложного сопротивления являются: изгиб в двух плоскостях, изгиб с кручением, изгиб с растяжением (сжатием) и т. д. В общем случае, при сложном сопротивлении в поперечном сечении бруса могут возникать все шесть внутренних силовых факторов:  связанные с четырьмя простыми деформациями: растяжением или сжатием, сдвигом, кручением и изгибом. При этом в опасной точке опасного сечения могут возникать не только нормальные, но и касательные напряжения, а напряженное состояние в ней может быть: одноосное, двухосное или трехосное.  На основании принципа независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня, от каждого силового фактора могут быть вычислены независимо друг от друга. При этом, если окажется, что напряженное состояние в опасной точке одноосное, то для расчета на прочность достаточно сопоставить суммарные напряжения с допустимыми, если же – двухосное, то необходимо использовать гипотезы прочности.

Для удобства пользования пособием и лучшего усвоения, указанный материал излагается  в следующей последовательности. Предусматривается, что студенты, прежде всего, должны познакомиться с общими методическими указаниями по расчету стержней на прочность при сложном сопротивлении, а также с кратким анализом основных положений теории напряженного состояния в точке, с построением и рекомендациями применения теорий прочности. Это позволит студентам лучше понять и освоить необходимые основы теории, осмыслить методику решения задач по данному разделу.

Вторая часть пособия посвящена непосредственному рассмотрению теоретических и практических вопросов расчета на прочность стержней при косом изгибе, изгибе с кручением, изгибе с растяжением (сжатием), внецентренном сжатии.

Поскольку материал витых пружин растяжения (сжатия) находится в сложном напряженном состоянии, авторы пособия посчитали возможным, методы их расчета на прочность и жесткость также рассмотреть в  данном пособии.

В каждом разделе, кроме теоретических вопросов, включены: методические указания, контрольные вопросы, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения а также справочные материалы.

Настоящее пособие облегчит процесс изучения данного раздела курса Сопротивления материалов, поможет овладеть методикой решения задач и получить необходимый навык при их решении. Материал пособия может быть использован студентами заочного факультета при выполнении самостоятельных расчетно–проектировочных работ.

 

 

Основные положения

До сих пор при изучении простых видов деформаций, мы рассматривали задачи, когда в поперечных сечениях стержня под действием внешних нагрузок возникал только один внутренний силовой фактор (продольная или поперечная сила, изгибающий или крутящий момент). Исключением являлся лишь прямой поперечный изгиб, при котором в поперечном сечении стержня возникали одновременно два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. Но и в этом случае при расчетах на прочность и жесткость, как правило, учитывался только изгибающий момент, т.к. касательные напряжения от поперечных сил оказывались значительно меньше нормальных напряжений от изгибающих моментов и при расчетах не учитывались.

В данном разделе будут рассмотрен общий случай нагружения бруса, когда в его поперечном сечении могут возникать одновременно все шесть компонентов внутренних усилий ( связанных, с четырьмя перечисленными выше простыми деформациями стержня: растяжением или сжатием, сдвигом, кручением и изгибом. В этом случае, на основании принципа независимости действия сил, напряженное состояние жесткого тела, может определяться путем суммирования напряженных состояний, вызванных каждым внутренним силовым фактором в отдельности. Такой подход применим во всех случаях, когда деформации малы и материал стержня подчиняется закону Гука. Однако, на практике, случаи, когда в поперечном сечении стержня одновременно возникают все шесть внутренних силовых факторов, встречается редко, обычно приходится иметь дело с различными их комбинациями.

Рассмотрим общий порядок решения таких задач.

Сначала с помощью метода сечений определяются все внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении бруса. Затем на основании принципа независимости действия сил определяются нормальные и касательные напряжения от каждого внутреннего силового фактора, пользуясь при этом ранее известными формулами. После этого, находят наиболее опасное сечение, а в нем наиболее опасную точку, для которой и составляют расчетное уравнение на прочность. При этом, если в опасной точке, имеет место одноосное напряженное состояние, то для расчета на прочность достаточно сопоставить суммарное напряжение (  с допустимым, если же в опасной точке напряженное состояние является двухосным, то при расчете на прочность следует применять ту или иную гипотезу прочности, выбор которых определяется состоянием материала стержня. В большинстве случаев для валов, изготовленных из пластичного материала,  рекомендуется использовать третью или четвертую гипотезы прочности. Для валов, изготовленных из хрупких материалов, обычно применяют теорию прочности Мора.

Таким образом, при изучении методов расчета стержня на прочность при сложном сопротивлении, прежде всего, необходимо кратко познакомиться с некоторыми результатами исследований напряженного состояния в точке, описывающими аналитические зависимости существующие между нормальными и касательными напряжениями в точке, а также гипотезами прочности, позволяющими рассчитывать стержень на прочность, когда в его поперечном сечении одновременно действуют как нормальные, так и касательные напряжения.

 

КОСОЙ ИЗГИБ

Основные положения

Косой изгиб возникает в тех случаях, когда плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки.

Различают плоский и пространственный косой изгиб. При плоском косом изгибе угол наклона плоскости изгибающего момента с главными осями инерции во всех сечениях балки одинаков. При пространственном косом изгибе углы наклона силовой линии с главными центральными осями инерции в различных сечениях балки различны. Упругая линия балки в этом случае представляет собой пространственную кривую.

При косом изгибе в поперечном сечении балки, в общем случае может возникать четыре внутренних силовых фактора: изгибающие моменты относительно главных осей инерции М_х  и М_у, и поперечные силы Q_x и Q _у.

Однако для обычных (не очень коротких) балок нормальные напряжения оказываются значительно больше касательных напряжений. Поэтому для таких балок поперечными силами, в большинстве случаев, можно пренебречь и расчет на прочность проводить только по нормальным напряжениям. В этом случае нормальные напряжения σ _z, возникающие в произвольной точке произвольного сечения с координатами x и y, могут быть вычислены как сумма напряжений от двух прямых изгибов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.9):

                             =                                       

где J_x, J _у - осевые моменты инерции поперечного сечения балки,

x, y – координаты точки, где определяется напряжение.

При плоском косом изгибе максимальные изгибающие моменты  и  действуют в одном и том же поперечном сечении балки, которое является опасным. При пространственном косом изгибе максимальные изгибающие моменты  и , в общем случае, могут возникать в различных сечениях. Поэтому расчет на прочность в этом случае, приходится проводить для нескольких, предположительно, опасных сечений.

Можно не отслеживать знаки М_х  и М_у, подставляя в (формулу 29) их абсолютные значения.В этом случае необходимо выбирать направления осей x и y таким образом, чтобы след силовой плоскости проходил через 1 и 3 квадранты, а напряжения в 1 квадранте были растягивающими.

При расчете балки на прочность при косом изгибе, прежде всего, необходимо построить эпюры изгибающих моментов  и  и определиться с опасным или опасными сечениями, а также найти опасные точки для которых и записать условие прочности. Опасные точки - это точки наиболее удалены от нейтральной линии. Нейтральная ось при косом изгибе представляет собой прямую линию,  уравнение  которой  получается  приравниванием  нулю (формулы 29):

Рис. 9

 

                                                

где x ₀, y ₀ – координаты точек, принадлежащих нейтральной линии.

Очевидно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Поэтому её положение можно определить по углу наклона к горизонтальной оси x:

                                       =   tgφ,                     (31)                      

где  - угол, определяющий положение плоскости результирующего изгибающего момента М _изг по отношению к вертикальной оси:

                                      

    Как видно из уравнения (31), нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента, а несколько повернута в сторону оси относительно которой момент инерции минимальный.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 9).

В общем случае для расчета на прочность должны быть составлены два уравнения на прочность:

Для балок, изготовленных из материалов для которых , используют то уравнение, которое соответствует большему по абсолютной величине напряжению.

Для балок, с симметричным сечением относительно осей x и y (прямоугольник, двутавр), находить положение нейтральной оси не нужно, так как точки в которых возникают максимальные растягивающие и сжимающие напряжения расположены на одинаковом расстоянии от нейтравльной оси (угловые точки). Тогда условие прочности может быть записано в виде:

где  - осевые моменты сопротивления, соответственно относительно оси x и y,

  - допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение – это максимальное напряжение, которое обеспечивает надежную работу конструкции несмотря на все неблагоприятные отклонения расчетных условий её работы от реальных. Численно допускаемые напряжения представляют собой часть предельных напряжений. Для пластичных материалов за предельные напряжения принимается предел текучести σ _Т. Тогда

    где n _Т -  запас прочности по текучести.

Для балок, у которых все центральные оси являются главными (круг, кольцо, квадрат) косой изгиб очевидно не возможен. Но и обычный прямой изгиб будет возможен только в тех случаях, когда все внешние нагрузки действуют в одной плоскости. Если внешние нагрузки действуют в разных плоскостях, то возникает так называемый пространственный изгиб. Для балок круглого сплошного и кольцевого сечения расчет на прочность можно проводить по результирующему изгибающему моменту, который вычисляется по формуле:

тогда расчетное уравнение на прочность выглядит как:

где для сплошного круглого сечения,

для кольцевого сечения,

      

,

внутренний диаметр кольца,

  ешнийдиаметр кольца.

Кроме расчета на прочность по допускаемым напряжениям иногда требуется проверить балку на жесткость. Условие жесткости записываются следующим образом

                        (37)

где - максимальный прогиб,

    - прогиб балки по оси х,

  - прогиб балки по оси у,

    - допускаемый прогиб.

В машиностроении для конструкций из проката допускаемый прогиб принимается равным:

где  - длина пролета или консоли, что больше.

Для вычисления прогибов f _х   и f _у   используются: метод начальных параметров, метод Мора или способ Верещагина.

 

Пример решения задачи на косой изгиб

 Для расчетной схемы (рис. 10) построить эпюры М_х и М_у. Определить размеры поперечного сечения, если:   h =5 b, М=20 , l =1м, .

Рис.10

Решение. Изобразим расчетную схему балки в вертикальной плоскости, определим реакции опор R_Ау и R_Ву и построим эпюры изгибающего момента М_х. (рис.11 б,в).

 

 = 0,

=

 

,

.

Проверка:

 

   

   Строим эпюры М_х:

   Первый участок:          

при : ,

при : .

Второй участок:           

;

при

при

Изобразим расчетную схему балки в горизонтальной плоскости. Вычислим реакции опор R_Ах и R_Вх, построим эпюры М_у (рис. 11 г,д).

Определяем реакции опор R_Ах и R_Вх:

 

                    = 0,

                       ;

 

                = 0,

                                             

Проверка:

,

                                           

Строим эпюры М_у:

Первый участок:           

при                      М _{y 1}=0,

при Z ₁

при Z ₁

Второй участок:             

                 

при Z₂= 0

при Z₂= 1

Из эпюр изгибающих моментов М_х и М_у видно, что опасным является сечение С. Поэтому, для определения максимальных напряжений σ _max, вычислим напряжение в сечении С.

Сечение С:

так как h =5 b, то

Записываем условие прочности:

Из условия прочности находим b:

h =5 b

h 5

Ответ: , h .

 

 

 

Рис. 11

2.5 Задачи для проверки студентами степени усвоения материала раздела: «Косой изгиб»

Задача 1

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них. Если;

Задача 2

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них. Если;

Задача 3

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них. Если;

Задача 4

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них.  Если;

Задача 5

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них. Если;

Задача 6

Построить эпюры . Определить опасное сечение, опасные точки и напряжение в них. Если;

Задача 7

Построить эпюры . Определить допустимую силу F, если:

Задача 8

Построить эпюры . Определить допустимую силу F, если:

Задача 9

Построить эпюры . Определить допустимую силу F, если:

Задача 1 0

Построить эпюры . Определить допустимую силу F, если:

Задача 1 1

Построить эпюры . Определить размеры поперечного сечения, если: , ,

Задача 12

Построить эпюры . Определить размеры поперечного сечения, если: , ,

 

 

Задача 1 3

Построить эпюры . Определить размеры поперечного сечения, если: , ,

Задача 1 4

Построить эпюры . Определить размеры поперечного сечения, если: , ,

Задача 1 5

Построить эпюры . Определить размеры поперечного сечения, если: , ,

 

Основные положения

Перейдем теперь к исследованию стержня, подвергающемуся одновременному действию изгиба и растяжения (сжатия). Совместное действие изгиба с растяжением (сжатием) может возникать в двух случаях: при продольно-поперечном действии внешней нагрузки; при внецентренном растяжении (сжатии).

При определении напряжений, создаваемых в балке, в вышеизложенных случаях нагружения, необходимо различать две возможности.

1. Балка может иметь относительно небольшую длину по сравнению с высотой, таким образом она будет сравнительно жесткой на изгиб. Тогда прогибы балки будут малыми и незначительно изменят направление линии действия продольной силы. Поэтому напряжения от сил  можно найти независимо одно от другого и просуммировать.

2. Балка может быть сравнительно тонкой и гибкой, при этом прогибы, создаваемые изгибом, будут достаточно велики и вызовут изменение направления линии действия силы . Тогда эта сила будет создавать дополнительные изгибающие моменты в балке, следовательно, здесь будет иметь место взаимодействие или связь между эффектами, обусловленными действием продольной и поперечной силы.

В данном разделе мы будем рассматривать только сравнительно жесткие стержни.

В общем случае в поперечном сечении стержня при совместном действии изгиба с растяжением (сжатием) возникают пять внутренних силовых факторов , , , , . Касательные напряжения для обычных балок, оказываются значительно меньше нормальных, поэтому поперечными силами можно пренебречь. Тогда напряженное состояние в произвольной точке произвольного сечения оказывается линейным, и суммарные нормальные напряжения в ней могут быть вычислены по формуле:

Условие прочности в этом случае может быть записано, как:

Для сечений симметричных относительно осей x и y, уравнение (40) принимает вид:

Простым примером такого нагружения является консольная балка, на которую действует сила F, лежащая в вертикальной плоскости (yz) и образующая острый угол с осями y  и z (рис.12). Силу F можно разложить на две составляющие по осям y и z (  и ). В представленном примере возникают три внутренних силовых фактора: , , . Так как касательными напряжениями можно пренебречь, то суммарные напряжения в произвольном сечении z получаются сложением нормальных напряжений от продольной силы и изгибающего момента:

где  продольная сила

 изгибающий момент

y   расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение.

 

Рис.12

 

Распределение напряжений в сечении с координатой z,от продольной силы, изгибающего момента, а также суммарных напряжений показано на эпюрах (рис.12). Из представленного примера видно, что нейтральная ось уже не проходит через центр тяжести.

 

Пример решения задачи на совместное действие изгиба с растяжением (сжатием)

 

 Для расчетной схе