Назначение гипотез прочности

Как было сказано выше, если материал находится в плоском или объемном напряженном состоянии, то расчет на прочность требует применения гипотез прочности, указывающих условия перехода материала в предельно напряженное состояние, т.е. появление признаков хрупкого разрушения или возникновения текучести. При этом возникает вопрос, при каких значениях  наступит предельное состояние. Эта задача является весьма сложной. Наиболее надежный способ ее решения состоял бы в том, чтобы испытать образец при заданном соотношении главных напряжений до разрушения или до начала текучести и установить, таким образом, значения главных напряжений. Однако, такой способ приходится отвергнуть, т.к. при каждой новой комбинации главных напряжений пришлось бы снова производить испытания и так бесчисленное множество раз. Кроме того, такие испытания требуют очень сложных и дорогостоящих приборов. Необходимо поэтому иметь какую-то гипотезу (теорию), которая позволила бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние, не прибегая каждый раз к трудоемким опытам, а используя лишь данные наиболее простых опытов, т.е. опытов с одноосным напряженным состоянием.

Таких гипотез предложено несколько, и исследования в этой области продолжается. Это объясняется сложностью природы разрушения. С физической точки зрения, разрушение материала представляет собой или отрыв частиц друг от друга (так называемое хрупкое разрушение), или сдвиг частиц (так называемое вязкое разрушение, сопровождающееся значительными пластическими деформациями).

Однако трудность вопроса состоит в том, что один и тот же материал при различных напряженных состояниях и различных условиях испытания (температура окружающей среды, скорость деформации и т. д.) может разрушаться и хрупко и вязко. Кроме того, в некоторых случаях возможно комбинированное разрушение, когда в некоторых зонах разрушение происходит в результате отрыва частиц, а в других зонах – в результате сдвига. Это свидетельствует о том, что свойства материала и условия его перехода в предельное состояние зависят от многих факторов.

Естественно принять в качестве таких факторов напряжения (нормальные и касательные) и деформации (линейные и угловые). Было предложено также принять в качестве критерия перехода в предельное состояние потенциальную энергию деформации. Идея рассматриваемых далее гипотез прочности и состоит в том, что каждая из них из большого числа факторов, влияющих на прочность материала, выбирает какой-нибудь один, игнорируя все остальные.

Поэтому для расчета, когда материал находится в сложном напряженном состоянии необходимо иметь какую-то гипотезу (теорию), которая позволила бы оценить опасность перехода материала в предельное состоянии при сложном напряженном состоянии не прибегая к сложным и дорогостоящим испытаниям.

Таким образом, построение гипотез прочности основывается на предположении, состоящим в том, что два каких–либо напряженных состояний считаются равноопасными и равнопрочными, если при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и тоже число раз одновременно становятся предельными.

За такой эквивалент (эталон) удобнее всего принять напряжение обычного растяжения (рис. 8).

 

Рис. 8

Однако случаев возникновения в опасной точке стержня объемного или плоского напряженного состояния крайне редки. В большинстве случаев приходится иметь дело с частным случаем плоского напряженного состояния, для которого главные напряжения  и  определяется по (формуле 13). Поэтому удобнее выразить эквивалентные напряжения через нормальные  и касательные  напряжения, возникающие на площадках поперечного сечения стержня, проведенных через опасную точку.

Поскольку в расчетной практике применяется не все гипотезы прочности, то гипотезы «наибольших нормальных напряжений» (первая теория прочности) и гипотеза «наибольших относительных линейных деформаций» (вторая теория прочности) в данной работе рассматриваться не будут.

Как, указывалось выше, наиболее часто для расчетов стержня, изготовленного из пластичного материала, используются третья и четвертая теория прочности. Согласно третьей теории прочности, называемой также гипотезой наибольших касательных напряжений, считается, что прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшие касательные напряжения не превосходят допускаемого касательного напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния, т.е. .

Известно (формула 14), в случае объемного напряженного состояния максимальные касательные напряжения равны:

допустимые касательные напряжения при одноосном напряженном состоянии равны:

 

Таким образом, условие прочности по третьей теории прочности, выраженное через нормальные напряжения выглядит так:

 

Если принять во внимание выражение, т.е:

то в частном случае, по третьей теории прочности, условие прочности может быть записано так:

Согласно четвертой (энергетической) гипотезе прочности считается, что прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации не превосходит допустимой удельной потенциальной энергии, установленной для одноосного напряженного состояния, т.е.

Удельная потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии вычисляется по формуле:

Допускаемая удельная потенциальная энергия деформации при одноосном напряженном состоянии равна:

тогда

 

Гипотеза лучше согласуется с опытными данными, если в качестве критерия принять не всю энергию деформации, а только ее часть, т.е.  - энергию изменения формы при постоянном объеме, тогда:

 

Для плоского напряженного состояния, когда , эквивалентные напряжения по четвертой теории прочности равны:

С учетом (выражения 17) т.е.

формула 24 может быть записана как:

 

Для валов, изготовленных из материалов, имеющих различную прочность на растяжение и сжатие, как известно, для расчета на прочность рекомендуется использовать теорию прочности Мора. Согласно этой теории расчетное уравнение на прочность записывается так:

 

    

где:

 

 предельное напряжение на растяжение,

 предельное напряжение на сжатие.

С учетом (выражения 27) расчетное уравнение на прочность по Мору, может быть записано как:

 

Формально при  условия прочности по формуле (18) и (28) становится одинаковыми.

 

КОСОЙ ИЗГИБ

Основные положения

Косой изгиб возникает в тех случаях, когда плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки.

Различают плоский и пространственный косой изгиб. При плоском косом изгибе угол наклона плоскости изгибающего момента с главными осями инерции во всех сечениях балки одинаков. При пространственном косом изгибе углы наклона силовой линии с главными центральными осями инерции в различных сечениях балки различны. Упругая линия балки в этом случае представляет собой пространственную кривую.

При косом изгибе в поперечном сечении балки, в общем случае может возникать четыре внутренних силовых фактора: изгибающие моменты относительно главных осей инерции М_х  и М_у, и поперечные силы Q_x и Q _у.

Однако для обычных (не очень коротких) балок нормальные напряжения оказываются значительно больше касательных напряжений. Поэтому для таких балок поперечными силами, в большинстве случаев, можно пренебречь и расчет на прочность проводить только по нормальным напряжениям. В этом случае нормальные напряжения σ _z, возникающие в произвольной точке произвольного сечения с координатами x и y, могут быть вычислены как сумма напряжений от двух прямых изгибов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.9):

                             =                                       

где J_x, J _у - осевые моменты инерции поперечного сечения балки,

x, y – координаты точки, где определяется напряжение.

При плоском косом изгибе максимальные изгибающие моменты  и  действуют в одном и том же поперечном сечении балки, которое является опасным. При пространственном косом изгибе максимальные изгибающие моменты  и , в общем случае, могут возникать в различных сечениях. Поэтому расчет на прочность в этом случае, приходится проводить для нескольких, предположительно, опасных сечений.

Можно не отслеживать знаки М_х  и М_у, подставляя в (формулу 29) их абсолютные значения.В этом случае необходимо выбирать направления осей x и y таким образом, чтобы след силовой плоскости проходил через 1 и 3 квадранты, а напряжения в 1 квадранте были растягивающими.

При расчете балки на прочность при косом изгибе, прежде всего, необходимо построить эпюры изгибающих моментов  и  и определиться с опасным или опасными сечениями, а также найти опасные точки для которых и записать условие прочности. Опасные точки - это точки наиболее удалены от нейтральной линии. Нейтральная ось при косом изгибе представляет собой прямую линию,  уравнение  которой  получается  приравниванием  нулю (формулы 29):

Рис. 9

 

                                                

где x ₀, y ₀ – координаты точек, принадлежащих нейтральной линии.

Очевидно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Поэтому её положение можно определить по углу наклона к горизонтальной оси x:

                                       =   tgφ,                     (31)                      

где  - угол, определяющий положение плоскости результирующего изгибающего момента М _изг по отношению к вертикальной оси:

                                      

    Как видно из уравнения (31), нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента, а несколько повернута в сторону оси относительно которой момент инерции минимальный.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 9).

В общем случае для расчета на прочность должны быть составлены два уравнения на прочность:

Для балок, изготовленных из материалов для которых , используют то уравнение, которое соответствует большему по абсолютной величине напряжению.

Для балок, с симметричным сечением относительно осей x и y (прямоугольник, двутавр), находить положение нейтральной оси не нужно, так как точки в которых возникают максимальные растягивающие и сжимающие напряжения расположены на одинаковом расстоянии от нейтравльной оси (угловые точки). Тогда условие прочности может быть записано в виде:

где  - осевые моменты сопротивления, соответственно относительно оси x и y,

  - допускаемое напряжение.

Допускаемое напряжение – это максимальное напряжение, которое обеспечивает надежную работу конструкции несмотря на все неблагоприятные отклонения расчетных условий её работы от реальных. Численно допускаемые напряжения представляют собой часть предельных напряжений. Для пластичных материалов за предельные напряжения принимается предел текучести σ _Т. Тогда

    где n _Т -  запас прочности по текучести.

Для балок, у которых все центральные оси являются главными (круг, кольцо, квадрат) косой изгиб очевидно не возможен. Но и обычный прямой изгиб будет возможен только в тех случаях, когда все внешние нагрузки действуют в одной плоскости. Если внешние нагрузки действуют в разных плоскостях, то возникает так называемый пространственный изгиб. Для балок круглого сплошного и кольцевого сечения расчет на прочность можно проводить по результирующему изгибающему моменту, который вычисляется по формуле:

тогда расчетное уравнение на прочность выглядит как:

где для сплошного круглого сечения,

для кольцевого сечения,

      

,

внутренний диаметр кольца,

  ешнийдиаметр кольца.

Кроме расчета на прочность по допускаемым напряжениям иногда требуется проверить балку на жесткость. Условие жесткости записываются следующим образом

                        (37)

где - максимальный прогиб,

    - прогиб балки по оси х,

  - прогиб балки по оси у,

    - допускаемый прогиб.

В машиностроении для конструкций из проката допускаемый прогиб принимается равным:

где  - длина пролета или консоли, что больше.

Для вычисления прогибов f _х   и f _у   используются: метод начальных параметров, метод Мора или способ Верещагина.