Правила перевода числа из одной системы счисления в другую

Для перевода целых чисел из одной системы счисления в другую используются следующие правила.

 

Правило 1. Для перевода целого числа из одной системы счисления (отличной от десятичной) в десятичную необходимо записать его в виде многочлена, состоящего из произведения цифр числа и соответствующей степени числа g, и вычислить по правилам десятичной арифметики (формула 1).

 

Пример 1. Перевести число 1010111₍₂₎ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение: Основание системы счисления – 2; количество цифр в числе - 7, значит, максимальная степень числа 2 будет на единицу меньше – 6; цифры числа (1,0,1,0,1,1,1) записываются слева направо в качестве коэффициентов многочлена.

Решени е:

=32+16+4+2+1=55₍₁₀₎

Пример 2. Перевести число 1034₍₈₎ из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

512+24+1=537₍₁₀₎

Пример 3. Перевести число 1С4₍₁₆₎ из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

256+192+4=452₍₁₀₎

 

Одним из альтернативных вариантов перевода любой системы счисления в десятичную является подход, который представлен на рисунке 1. Используя разрядную линейку представленного содержания, можно сложить числа, закрепленные за теми ячейками (основание системы счисления в определенной степени), которые содержат единицу, и получить соответствующее десятичное число.

 

Правило 2. Для перевода целого числа десятичной системы счисления в любую другую с основанием g, необходимо исходное число разделить на основание g, получившееся целое частное вновь разделить на основание и так до тех пор, пока целое частное не станет меньшим, чем g. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, и будут являться цифрами числа, относящегося к системе счисления с основанием g.

Пример 4. Перевести число 45₍₁₀₎ в двоичную систему счисления (рисунок 1.3).

 

Рисунок 1.3 – Перевод исходного десятичного числа в двоичное число

Решение:

Согласно правилу 2 производится деление числа 45 на 2. Остатки от деления, начиная с последнего частного, записываются в обратном порядке. Ответ: 45₍₁₀₎ = 101101₍₂₎.

 

Используя вновь альтернативный способ перевода (разрядную линейку), можно десятичное число представить в виде суммы степеней основания новой системы счисления. Если перевод в двоичную систему счисления осуществляется быстро и без каких-либо нюансов, то при переводе в троичную и любую другую необходимо учесть некоторые моменты.

Например, необходимо перевести число 369₍₁₀₎ в четверичную систему счисления. Разрядная линейка для системы счисления с основанием 4 будет выглядеть следующим образом (таблица 1.2):

 

Таблица 1.2

Степень числа 2

Степень	0	1	2	3	4	5
Число	1	4	16	64	256	1024

 

Решение:

1. Находим ближайшее число разрядной сетки (4 в соответствующей степени) к числу 369. Это 256, причем данное число входит в число 369 единожды. 369 = 1*256+?. Недостающее число – 113.

2. Ближайшее следующее число разрядной сетки (4 в соответствующей степени) к числу 113 – это 64, причем вхождение 64 в число 113 – одно. 369=1*256+1*64+?. Недостающее число – 49.

3. Ближайшее число к 49 – это 16. Число 16 может входить в 49 ровно 3 раза, значит, 369 = 1*256+1*64+3*16+?. Остаток – 1. Вероятно, что 1 = 16⁰.

Таким образом, число

369₍₁₀₎ = 1*256+1*64+3*16+1= 1 *4⁴+ 1 *4³+ 3 *4²+ 0 *4¹+ 1 *4⁰= 11301 ₍₄₎

Правило 3. Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную необходимо цифры исходного двоичного числа сгруппировать справа налево по три (триады) или четыре (тетрады) цифры, и каждую группировку представить в виде десятичного числа.

Пример 5. Перевести двоичное число 1011100101 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1. Справа налево выделить триады в исходном числе (рисунок 1.4).

 

Рисунок 1.4 – Группировка триад при переводе из одной системы счисления в другую

 

2. Полученные триады (001), (011), (100), (101) перевести в десятичные числа.

3. Справа налево выделить тетрады в исходном числе (рисунок 1.5).

 

Рисунок 1.5 – Группировка тетрад при переводе из одной системы счисления в другую

 

4. Полученные тетрады (0010), (1110), (0101) перевести в десятичные числа.

Результатом решения является: 1011100101₍₂₎=1345₍₈₎=2Е5₍₁₆₎.

 

Правило 4. Для перевода числа из восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления необходимо каждую цифру исходного числа представить двоичным числом по три (триады) или четыре (тетрады) цифры, а затем все группы цифр записать в линейной последовательности.

Пример 6. Перевести числа 425₍₈₎ и А3С₍₁₆₎ в двоичную систему счисления.

Решение:

1. Каждую цифру исходного числа представить в виде двоичных чисел длиною в 3 цифры (рисунок 1.6).

 

Рисунок 1.6 – Разложение чисел на триады

 

2. Каждую цифру исходного числа представить в виде двоичных чисел длиною в 4 цифры (рисунок 1.7).

 

Рисунок 1.7 – Разложение чисел на тетрады

 

Результатом решения является: 425₍₈₎=100010101₍₂₎, А3С₍₁₆₎=101000111100₍₂₎.

 

Для перевода действительных (вещественных) чисел из одной системы счисления в другую необходимо разделить операции перевода: перевести сначала целое число, а затем дробную часть. Например, число 829,231₍₁₀₎ представляется как сумма 829₍₁₀₎+0,231₍₁₀₎.

Правило 5. Для перевода дробной части числа любой системы счисления в десятичную, необходимо использовать правило 1, при этом начальная степень числа должна быть (-1).

Например, число 1010,101₍₂₎ при переводе в десятичную систему счисления (стандартной записи числа) представляется как

1010,101₍₂₎=1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+ 1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3 =10,875₍₁₀₎

Пример 7. Перевести 0,1011₍₂₎ в Х₍₁₀₎.

Решение: Начальная степень числа 2 (как основания системы счисления) для перевода (-1), поэтому при стандартной записи числа необходимо использовать степень (-1), (-2), (-3) и (-4), так как количество цифр в дробной части – четыре. Коэффициенты многочлена используются в прямом порядке – 1, 0, 1, 1.

0,1011₍₂₎=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4=0,5+0,25+0,125+0,0625=0,9375₍₁₀₎.

 

Правило 6. Для перевода дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую (с основанием g) необходимо произвести умножение дробной части на основание, затем полученную дробную часть вновь умножить на основание системы счисления и так до тех пор, пока дробная часть не приблизиться к 0. В полученный результат записываются все целые части процессов умножения в прямом порядке.

Пример 8. Перевести число 0,145₍₁₀₎ в Х₍₂₎.

Решение: 

0,145 2 = 0,290

0,290 2 = 0,580

0,580 2 = 1,160

0,160 2 = 0,320

0,320 2 = 0,640

0,640 2 = 1,280 и т.п.

Как видно из произведений, дробная часть не приобретет значение 0, поэтому необходимо остановиться на 1 в зависимости от погрешности. Результатом может быть число  0,001001₍₂₎  или  0,001₍₂₎.

Пример 9. Перевести число 0,126₍₁₀₎ в Х₍₄₎.

Решение: 

0,126 4 = 0,504

0,504 4 = 2,016

0,016 4 = 0,064

0,064 4 = 0,256

0,256 4 = 1,024

Результат: 0,126₍₁₀₎ 0,02001₍₄₎ 0,02₍₄₎.

Проверка: 0*4^-1+2*4^-2= =0,125₍₁₀₎.