Математический анализ. Материал за 3-4 модули.

Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла. Выведите таблицу неопределенных интегралов.

 

Первообразная – первообразной функции  называется такая функция , производная которой равна =>  

Неопределённый интеграл – множество всех первообразных некоторой функции , обозначается как

 

 

Таблица неопределённых интегралов:

 

Приведите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.

 

Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда  и:

 

 

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

 

 

Приведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

 

Рассмотрим функции  и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

 

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

 

 

Полученное равенство перепишем в виде:

 

 

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл  можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

 

 

4. Дайте определение функции, интегрируемой на отрезке и ее определенного интеграла. Приведите примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций. Сформулируйте теорему об интегрируемости непрерывной функции.

 

Определения:

Разбиением отрезка  называется произвольная конечная система точек  такая что

 

 

Если нам дано какое-то разбиение , то его удобно обозначать одной буквой, например,

Наибольшее расстояние между соседними точками разбиения τ обозначается

 

и называется диаметром разбиения .

 

Пусть функция  определена на отрезке  и пусть

дано разбиение этого отрезка . В каждом маленьком отрезке  зафиксируем произвольную точку . Такая система точек  называется системой выделенных точек в данном разбиении . Рассмотрим сумму:

Она называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению  с выделенными точками .

 

Определённый интеграл:

Число  называется определенным интегралом функции  на отрезке , и обозначается

если для всякой измельчающейся последовательности разбиений отрезка :

 

и любой системы выделенных точек

 

соответствующие интегральные суммы стремятся к числу I:

 

Примеры интегрируемых функций:

 

Примеры неинтегрируемых функций:

 

Дайте определение гладкой функции на отрезке. Докажите теорему об интеграле с переменным верхним пределом.

 

Гладкая функция:

Функция  называется гладкой на отрезке , если она дифференцируема на , и ее производная  на этом отрезке непрерывна на . Множество всех гладких функций на  обозначается

символом . Из предложения 4.2.1 следует, что любая гладкая функция автоматически непрерывна, то есть выполняется включение:

 

Доказательство.

5.1.7.

Критерий Коши о сходимости несобственного интеграла.

 

Дайте определение окрестности точки в евклидовом пространстве. Дайте определение сходящейся последовательности в евклидовом пространстве. Сформулируйте теорему о сходимости последовательности в конечномерном евклидовом пространстве.

 

Определение окрестности точки в евклидовом пространстве:

-окрестностью точки  в  называется множество точек , удовлетворяющих условию , где  – расстояние между точками и .

 

Дайте определение открытого множества. Докажите теорему о секвенциальной характеризации открытых множеств. Перечислите свойства открытых множеств. Является ли пересечение бесконечного семейства открытых множеств открытым множеством?

 

Определение открытого множества:

Теорема о секвенциальной характеризации открытых множеств:

Доказательство теоремы о секвенциальной характеризации открытых множеств:

Свойства открытых множеств:

Ответ на вопрос:

Из второго свойства следует что пересечение бесконечного семейства открытых множеств также будет являться открытым мноеством.

Математический анализ. Материал за 3-4 модули.

 

Оглавление.

 

Математический анализ. Материал за 3-4 модули. 1

1. Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла. Выведите таблицу неопределенных интегралов. 1

2. Приведите формулу замены переменной для неопределенного интеграла. 3

3. Приведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. 4

4. Дайте определение функции, интегрируемой на отрезке и ее определенного интеграла. Приведите примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций. Сформулируйте теорему об интегрируемости непрерывной функции. 5

5. Приведите свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность, выпуклость, оценка сверху, непрерывность, теорема о среднем, интегрируемость произведения, замена переменной. 7

6. Дайте определение функции, дифференцируемой на отрезке. Докажите лемму о функции с нулевой производной на отрезке. 15

7. Дайте определение первообразной на отрезке. Докажите свойства первообразных. 16

8. Дайте определение гладкой функции на отрезке. Докажите теорему об интеграле с переменным верхним пределом. 18

9. Докажите теорему Ньютона-Лейбница. 20

10. Дайте определение ориентированного отрезка и интеграла по ориентированному отрезку. Перечислите свойства интеграла по ориентированному отрезку. 21

11. Докажите теорему о скачке гладкой функции на ориентированном отрезке. 25

12. Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла. 26

13. Дайте определение несобственного интеграла по конечному промежутку и по бесконечному промежутку. Докажите теоремы о несобственных интегралах степенной и показательной функций. 27

14. Докажите теорему о замене переменной в несобственном интеграле. 32

15. Докажите критерий сходимости знакоположительного несобственного интеграла. 33

16. Докажите признак сравнения несобственных интегралов. 34

17. Докажите критерий Коши сходимости несобственного интеграла. 36

18. Дайте определение абсолютной сходимости несобственного интеграла. Докажите признак абсолютной сходимости несобственного интеграла. 37

19. Приведите формулу Бонне и сформулируйте признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. 38

20. Докажите признак асимптотической эквивалентности несобственных интегралов. 41

21. Докажите признак асимптотического сравнения несобственных интегралов. 44

22. Дайте определение сходящегося числового ряда и его суммы. Приведите примеры сходящихся и расходящихся рядов. 46

23. Докажите арифметические свойства сходящихся числовых рядов. 48

24. Докажите критерий сходимости знакоположительного числового ряда. 49

25. Докажите интегральный признак сходимости знакоположительного числового ряда. Дайте определение постоянной Эйлера числового ряда. 50

26. Докажите признак сравнения рядов. 53

27. Докажите признак Даламбера сходимости рядов. 54

28. Докажите радикальный признак Коши сходимости рядов. 57

29. Сформулируйте критерий Коши сходимости ряда. 59

30. Докажите необходимое условие сходимости ряда. 60

31. Докажите признак абсолютной сходимости ряда. 61

32. Докажите признак Лейбница сходимости ряда. 62

33. Докажите признак асимптотической эквивалентности рядов. 64

34. Докажите признак асимптотического сравнения рядов. 67

35. Дайте определение поточечной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Приведите примеры сходящихся и расходящихся в этом смысле последовательностей и рядов. Дайте определение области сходимости. 68

36. Дайте определение равномерной нормы функции на отрезке. Докажите ее свойства: неотрицательность, однородность, полуаддитивность, полумультипликативность, монотонность. Дайте определение равномерной сходимости последовательности функций. Приведите примеры. 71

37. Дайте определение равномерной сходимости функционального ряда. Приведите примеры сходящихся и расходящихся в этом смысле функциональных рядов. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости ряда. 74

38. Докажите необходимое условие равномерной сходимости ряда. 78

39. Докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. 79

40. Докажите признак Лейбница равномерной сходимости ряда. 80

41. Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда. 82

42. Дайте определение степенного ряда. Докажите лемму Абеля. Докажите теорему об области сходимости степенного ряда. 83

43. Докажите теорему о равномерной сходимости степенного ряда и теорему о непрерывности суммы степенного ряда. 86

44. Докажите теорему о дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Приведите примеры вычисления суммы степенного ряда. 88

45. Дайте определение ряда Тейлора. Докажите теорему о представлении степенного ряда в виде ряда Тейлора своей суммы. 93

46. Докажите теорему о достаточном условии сходимости ряда Тейлора. Приведите стандартные разложения Маклорена. 95

47. Дайте определение тригонометрического ряда и ряда Фурье. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном. 97

48. Дайте определение скалярного произведения функций на отрезке. Докажите ортогональность тригонометрической системы. Докажите формулу, связывающую скалярное произведение с коэффициентами Фурье. 98

49. Докажите минимальное свойство многочленов Фурье. 100

50. Докажите полноту тригонометрической системы. 102

51. Докажите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. 104

52. Докажите теорему о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном. 106

53. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье. 107