Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2019-11-28 | 247 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Свойства определённого интеграла:
1. Линейность.
Если функции и интегрируемы на отрезке то для любых чисел
функция тоже интегрируема на отрезке , причем
2. Аддитивность.
Пусть и функция интегрируема на отрезках и ,
тогда она интегрируема на отрезке , и при этом
3. Монотонность.
Если функции и интегрируемы на отрезке и при этом
то:
4. Выпуклость.
Если функция интегрируема на отрезке , то функция тоже
интегрируема на отрезке , и при этом
5. Оценка сверху.
Если функция интегрируема на отрезке , то
6. Непрерывность.
Если функция интегрируема на отрезке , то для всякой точки
7. Теорема о среднем.
Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такая
точка , что
8. Интегрируемость произведения.
Если функции и интегрируемы на отрезке ,
то их произведение – тоже интегрируемая функция на отрезке .
9. Замена переменной.
Пусть:
1) функция интегрируема на отрезке
2) функция определена на отрезке и обладает свойствами:
a) – гладкая на отрезке ;
b) – строго монотонная на отрезке ;
c) сюръективно (принимает все возможные значения) отображает отрезок на отрезок :
тогда функция ′ интегрируема на отрезке , и
Доказательство данных свойств:
1. Линейность. Пусть функции и интегрируемы на отрезке , и
Для всякого разбиения отрезка и любой системы выделенных точек мы получим:
Это нужно понимать так: если взять последовательность разбиений , диаметры которых стремятся к нулю, то какую ни выбирай систему выделенных точек , интегральная сумма функции будет стремится к числу . То есть, функция получается интегрируемой, и:
|
2. Аддитивность.
Дайте определение функции, дифференцируемой на отрезке. Докажите лемму о функции с нулевой производной на отрезке.
Дифференцируемая функция:
Если функция определена в окрестности точки и
, где , а — некоторая константа, то функцию называют дифференцируемой в точке и называется дифференциалом функции в точке .
Определение:
Если функция дифференцируема в любой точке , то функция называется дифференцируемой на промежутке .
Лемма о функции с нулевой производной на отрезке (Теорема Ролля):
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах отрезка одинаковые значения, то на интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Доказательство:
Поскольку функция непрерывна на отрезке , по теореме Вейерштрасса об экстремумах, имеет максимум и минимум на :
Ясно, что , поэтому возможны два случая:
1)
2)
В первом случае мы получаем, что функция должна быть постоянной
,
поэтому ее производная будет равна нулю в любой точке .
Во втором же случае мы получаем, что с одной стороны , а с другой, . Это означает, что или не может быть концом отрезка :
– либо ,
– либо .
Значит, функция имеет экстремум на интервале (если – то минимум, а если
– то максимум). Следовательно, по теореме Ферма, найдется точка такая, что .
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!