Смена тона: ответ на музыкальную загадку

 

«Равномерная темперация»— система, определяющая ноты музыкальной гаммы,— составляет основу западной музыки. Долгое время считавшаяся европейским изобретением, она родилась на другом краю земли, где в ней не было необходимости.

 

Если вы учились музыке, тор наверняка знаете, что все звуки соответствуют так называемым октавам, в каждой из которых 12 различных по высоте полутонов, обозначаемых нотами. Любое музыкальное произведение, от «чижика-пыжика» до сложнейшей симфонии, состоит из этих нот. Прямая аналогия с алфавитом, которым можно записать все, что угодно.

Человек воспринимает те или иные ноты благодаря их разнице по частоте колебаний воздуха и особенностям своего уха. И верхнее, и нижнее до соответствует одной ноте, потому что между ними существует вполне определенный частотный интервал 2:1 — октава. Фиксированным соотношением частот определяется и разница между всеми нотами гаммы (до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до). Так, независимо от тональности, между соль и до (пятой и первой нотами) оно составляет 3:2. Это называется чистой квинтой.

 

Заковыристая квинта

Отсюда следует, что, сдвигаясь по звукоряду по квинтам, т.е. на каждые пять нот (до-соль, соль-ре, ре-ля и т.д.), через 12 этапов, пройдя семи октав, мы снова попадаем на ноту до. Логично, но не получается. Если точно отсчитывать квинты по 3:2, самое верхнее до будет отвратительно фальшивить. Эта проблема мучила европейских меломанов столетиями. Все дело в том, что ноты в гамме больше похожи все-таки не на буквы алфавита, а на календарные дни, не совпадающие с лунными месяцами, или на наши месяцы, которые не укладываются точно в солнечный год. В календаре это расхождение компенсируется високосными годами, а в музыке такого простого решения нет. Давно известное несовпадение семи октав с 12 чистыми квинтами получило (с. 274) особое название —«пифагорова комма». И музыканты, и особенно настройщики инструментов думали над тем, как от нее избавиться.

В начале средних веков музыкальные инструменты играли в одной-двух октавах; аккорды, если и брались, то простейшие; межтональные переходы в рамках одной мелодии были редкостью. Это позволяло прятать пифагорову комму в той части звукоряда, которая никогда не использовалась. Если, скажем, в вашей песне нет ноты си, неважно, как она звучит: главное, чтобы остальные ноты были разделены точными интервалами.

Естественно, это решение было временным. К XVII веку композиторы стали сочинять новые гармонии и музыкальные пьесы, исполнявшиеся во многих октавах, с неожиданными переходами между тональностями. Параллельно появились и музыкальные инструменты типа клавесина и органа, способные давать широчайший диапазон звуков.

В этих первых клавишных пифагорову комму прятать было некуда. А переходам между тональностями и октавами она явно мешала — приходилось бы то и дело перенастраивать (темперировать) инструмент.

Европейские музыканты знали несколько путей решения этой проблемы. Композитор Иоганн Себастьян Бах был одним из пионеров настройки (темперации), которая соответствовала бы любой тональности. Его завершенный в 1744 сборник «Хорошо темперированный клавир» включает пьесу, написанную для всего звукоряда, т.е. демонстрирующую, что в принципе это возможно. Однако Бах не объяснял, какую темперацию он использует, поскольку всегда сам настраивал инструмент на слух.

К этому времени были описаны математически различные ее варианты, но никто не мог ясно сформулировать простейшее решение дилеммы — способ настройки, известный нам как «равномерная темперация». Она поровну распределяет комму между 12 полутонами октавы, т.е. слегка уменьшает интервалы между ними, заставляя каждый звучать чуть-чуть, почти незаметно, но фальшиво. Некоторые музыканты и изготовители инструментов приходили к этому интуитивно, как Бах. Однако должна была существовать математическая формула, которая позволяла бы сразу сделать «хорошо темперированный» инструмент с правильными по размеру и расположению струнами, отверстиями, ладами и т.п.

Как ни удивительно, эту формулу вывел за 150 лет до сочинения Баха живший отшельником математик из Китая эпохи Мин.

 

Математическая гармония

Чжу Цзайюй, открывший «равномерную темперацию», родился в 1536 году в семье, связанной близким родством с правящей династией Мин. В 1550 году его отец Чжу Хоухуань попал в тюрьму за критику императора, и 14-летний подросток в знак протеста против такого приговора удалился в глинобитную хижину на территории фамильного поместья. Следующие 19 лет — до освобождения отца — он прожил отшельником. (с. 275)

За этот долгий период Чжу Цзайюй увлекся математикой. Для начала он решил исправить китайский календарь, который в эпоху Мин стал таким неточным, что даже не позволял прогнозировать солнечные затмения.

Отсюда было недалеко и до изучения музыки. Китайцы считали ее тесно связанной с астрономией и времяисчислением. Год, как и октава, делится на 12 частей. Каждый полутон носил в Китае название определенного месяца. Чжу Цзайюй наверняка знал о пифагоровой комме (хотя и не пользовался таким термином) и видел у этой проблемы общие черты с календарными накладками, которые только что исправил.

В ходе долгих экспериментов с камертон-дудками он понял, что ключ к «равномерной темперации»— соотношение не просто их длин, а нескольких промеров. В результате Чжу Цзайюй вывел формулу, позволяющую получать звуки, между которыми одинаковая разница по высоте, причем все 12 полутонов точно укладываются в одну октаву. Именно это математическое решение так долго ускользало от западных математиков и музыковедов.

Чжу Цзайюй опубликовал свое открытие в 1584 году под заголовком «Новый отчет об изучении камертон-дудок». Сам он понимал его большое значение, но китайских музыковедов октава с 12 полутонами не интересовала — у них на родине традиционно пользовались пятитоновой системой (пентатоникой).

Чжу Цзайюй естественно не предполагал, что его формула станет основой западной музыки. За пределами Китая он не публиковался, но выведенный им математический закон вполне мог (с. 276) проникнуть в Европу — для начала из провинции Гуандун в бельгийский город Брюгге.

 

По следам темперации

Средневековый Китай не был полностью изолирован от окружающего мира. В стране процветали многочисленные колонии иностранцев, в том числе иезуитская миссия в южном порту Макао, где монахи изучали кантонский диалект и иероглифы. Среди братии выделялся своими знаниями Маттео Риччи. В Китае он провел основную часть своей жизни и даже называл себя на местный лад — Ли Матуо.

Точно известно, что Риччи читал сочинения Чжу Цзайюя относительно поправок к календарю. Следовательно, весьма вероятно и знакомство иезуита с более поздней работой китайского математика—по камертон-дудкам. Более того, Риччи был в 1595 году в Нанкине, где Чжу Цзайюй докладывал свои соображения о тональном делении звукоряда императору. Не исключено даже личное знакомство двух ученых. Логично предположить, что китаец подарил любознательному иностранцу экземпляр своего музыкального трактата. Таким образом, Риччи мог оказаться первым европейцем, узнавшим формулу «равномерной темперации».

Как же протянуть от него ниточку к музыкантам Западной Европы? Иезуитская миссия находилась в повинции Гуандун, порты которой в то время были центрами торговли между Китаем и Западом. Дважды в год там устраивали крупные ярмарки, где происходил интенсивный обмен не только товарами, но и идеями.

Возможно, Риччи изложил суть открытия Чжу Цзайюя в письме европейским иезуитам, которое передал с одним из купцов. Вероятно, он просто рассказал об этом какому-то разбирающемуся в музыке путешественнику, и идея просочилась на Запад почти случайно — вместе с шелком и фарфором. Так или иначе в Европе первым узнал о ней человек, тесно связанный с Китаем.

 

Запрягший ветер

В 1620 году в Брюгге умер уважаемый нидерландский инженер и математик Симон Стевин. Он познакомил европейцев с концепцией десятичных дробей, а кроме того, снискал известность использованием оригинального — для Запада — вида транспорта. В 1600 году Стевин поставил парус на большую повозку и провез на ней 26 пассажиров 80 км от Схевенигена (пригород Гааги) до Петтена со средней скоростью 40 км/ч. Он назвал эту новинку китайской парусной повозкой. В самом Китае такой вид транспорта использовался уже многие столетия и был известен как «ветротелега».

Стевин вообще очень интересовался восточными изобретениями. Самым впечатляющим результатом этого стала парусная повозка. Однако мало кто знает, что после смерти ученого в его бумагах обнаружилась выведенная Чжу Цзайюем формула «равномерной темперации»[1].

Знакомил ли Стевин с этим открытием кого-нибудь из музыкантов, неизвестно, но время говорит само за себя. Проблема темперации на Западе встала особенно остро именно в начале XVII века, а к его концу китайская формула стала широко известна европейцам.

Однако, несмотря на ее математическую безупречность, многие музыканты считали, что втискивать квинты в смирительную рубашку октавы — значит портить себе слух. Одним из скептиков был итальянский композитор XVII века Джованни Батиста Дони: «Хорошие певцы под настроенные так инструменты петь не будут»,— утверждал он. В конце концов речь шла если не о жульничестве, то о компромиссе — каждая нота игралась чуть-чуть (на точно установленный интервал) фальшиво. В эпоху Бетховена «равномерная темперация» окончательно завоевала признание, слегка сбив с тона всю музыку. Это достижение китайской математики и европейцев: Б. Рамос де Пареха, 1482, Испания; А. Шлик, 1511, Германия; П. Арон и Л. Фольяни, 1523 и 1529, Италия; И. Г. Нейдхардт, 1706, 1724, 1732, Германия; Л. Эйлер, 1729, Россия, и других.