Статически определимой конструкции

МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

 

ЗАДАНИЯ, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ  СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

1-36 01 01 –Технология машиностроения

1-37 01 06 –Техническая эксплуатация автомобилей

 

ЧАСТЬ 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

Новополоцк -2011

УДК

ББК

 

Одобрены и рекомендованы к изданию методической комиссией

машиностроительного факультета

 

Кафедра механики

 

 

Составители:

В.Э. ЗАВИСТОВСКИЙ, канд. техн. наук, профессор;

В.А. ДРОНЧЕНКО, ассистент

 

Рецензенты:

 

Н.Н. ПОПОК, доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой технологии и оборудования машиностроительного производства;

Л.С. ТУРИЩЕВ, канд. техн. наук, доцент кафедры механики

 

	a a a

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………….

Оформление контрольных работ……………………………………………………….

Список условных обозначений…………………………………………………………..

Задача 1.1. Расчет шарнирно-стержневой статически определимой конструкции…..

       Пример решения и методические указания к задаче 1.1……………………….

Задача 1.2. Расчет на прочность и жесткость статически определимого бруса……

       Пример решения и методические указания к задаче 1.2……………………….

Задача 1.3. Расчет статически-неопределимых конструкций, испытывающих

растяжение-сжатие……………………………………………………………………….

       Пример решения и методические указания к задаче 1.3……………………….

 Задача 1.4. Вычисление положения центра тяжести и геометрические характерис-

тики сложного сечения…………………………………………………………………..

       Пример решения и методические указания к задаче 1.4………………………

Задача 1.5. Вычисление геометрических характеристик составного сечения,

состоящего из стандартных профилей…………………………………………………

       Пример решения и методические указания к задаче 1.5………………………

Задача 1.6. расчет вала на прочность и жесткость при кручении…………………….

       Пример решения и методические указания к задаче 1.6………………………

Задача 1.7. Построение внутренних силовых факторов при плоском изгибе……….

       Пример решения и методические указания к задаче 1.7………………………

Теоретический вопрос 1.8……………………………………………………………….

Список рекомендуемой литературы…………………………………………………….

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………..

       Таблица 1. Механические характеристики материалов и допускаемые

напряжения……………………………………………………………………………….

       Таблица 2. Таблица нормальных размеров……………………………………..

       Таблица 3. Геометрические характеристики типовых плоских сечений……..

Таблица 4.  Профили стальные гнутые замкнутые сварные прямоугольные

и квадратные ……………………………………………………………………………..

Таблица 5. Сталь горячекатаная. Балки двутавровые………………………….

Таблица 6. Сталь горячекатаная. Швеллеры…………………………………….

Таблица 7. Уголки стальные горячекатаные равнополочные…………….…….

Таблица 8. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные……………..….

                                                                                                                                                                                                                                     

ВВЕДЕНИЕ

 

Механика материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов конструкций при гарантированной долговечности.

Все современные конструкции, машины и приборы создают по заранее составленным проектам. В проекте указывают материалы элементов конструкций и деталей машин, а также все их размеры, необходимые для изготовления. Следовательно, уже в процессе проектирования нужно уметь определять размеры элементов и деталей, входящих в состав конструкции или машины. Естественно, указанные размеры зависят от ряда условий и обстоятельств, в том числе от свойств материала изделия и от предполагаемых на него воздействий.

Задачей механики материалов и является привитие будущим инженерам теоретических основ и практических навыков в установлении требуемых размеров элементов конструкций и деталей машин. При этом должна быть обеспечена надежность эксплуатации технического объекта и экономичность конструкции, в значительной мере определяемая расходом конструкционных материалов.

Студенты-заочники машиностроительных и транспортных специальностей выполняют две контрольные работы, по одной в каждом семестре. Каждая контрольная работа включает в себя решение семи задач и ответа на один теоретический вопрос. Каждая задача контрольной работы приведена в десяти типах и десяти вариантах. Число теоретических вопросов - девятнадцать. Студент обязан взять для решения тип схемы, который соответствует последней цифре шифра студента и из таблицы тот вариант с числовыми данными, который соответствует предпоследней цифре шифра. Если последняя цифра шифра студента ноль, то ему надо выполнять задачи десятого типа. Если предпоследняя цифра шифра ноль, студент должен выполнить задачи варианта 10 своего типа.

Теоретический вопрос контрольной работы выбирается следующим образом. Номер теоретического вопроса соответствует сумме двух цифр шифра студента – последней и предпоследней. Если последняя цифра шифра студента ноль, то ее следует считать за 10. Если предпоследняя цифра шифра ноль, то при суммировании она соответствует нулю.

Например, студент, имеющий шифр 1136010150, должен выполнить в каждой контрольной работе задачи по схеме десятого типа пятого варианта и ответить на пятнадцатый (10 + 5 = 15) теоретический вопрос.

Контрольные работы, выполненные с нарушением этих указаний, не проверяются и не засчитываются.

 

 

ОФОРМЛЕНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Не следует приступать к выполнению контрольных работ, не изучив соответствующего раздела курса.

Контрольною работу следует оформлять в тетради с полями, оставленными для замечаний рецензента. Перед решением задачи надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить эскиз (рисунок) в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчета. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы.

При выполнении задач сначала надо наметить ход решения и те допущения, которые могут быть положены в его основу, а затем провести расчет; причем все необходимые вычисления сначала проделать в общем виде, обозначая все данные и искомые величины буквами, после чего вместо буквенных обозначений проставить их числовые значения и найти результат. Везде необходимо придерживаться стандартных обозначений. Расчеты должны быть выполнены в определенной последовательности, теоретически обоснованы и сопровождены пояснительным текстом. При выполнении расчетов необходимо указывать литературу с отметкой страниц и таблиц, откуда взяты расчетные формулы, допускаемые напряжения, материалы и другие величины.

Все расчеты в контрольной работе должны производиться в единицах СИ. Вычисленные значения должны быть округлены и взяты по ГОСТ. Следует указывать единицы всех величин.

Решение сопровождать краткими, последовательными и грамотными (без сокращения слов) объяснениями и чертежами. Основные графические построения (поперечные сечения, схемы стержней, брусьев, валов, балок с эпюрами и т.д.) следует выполнять на отдельной странице с соблюдением принятого масштаба.  При пользовании формулами или данными, отсутствующими в учебно-методическом комплексе или базовом учебнике, необходимо кратко и точно указывать источник (автора, издание, номер страницы или формулы). Не следует вычислять большое число значащих цифр, вычисления должны соответствовать необходимой точности.

На обложке контрольной работы должны быть четко написаны: название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью), название факультета и специальности, название кафедры, за которой закреплена дисциплина, учебный шифр, точный почтовый адрес и дата отсылки работы

Контрольные работы, оформленные небрежно и без соблюдения предъявляемых к ним требований, не принимаются и не рассматриваются.

После рецензирования на обложке контрольной работы рецензент выполняет надпись либо "к защите", если работа выполнена в полном объеме без ошибок, либо "на исправление", если работа выполнена с ошибками или не в полном объеме.

Контрольная работа, выполненная в полном объеме и без ошибок, остается на кафедре и подлежит защите в установленные кафедрой сроки.

Если контрольная работа выполнена с ошибками, то студент персонально ее забирает на исправление и сдает повторно, после устранения ошибок и других замечаний рецензента.

Студент, не защитивший контрольную работу, к зачету либо к экзамену не допускается.

На защите контрольной работы студент обязан самостоятельно решить подобные типовые задачи, ответить на вопросы по методике их решения и технически грамотно изложить основные положения теоретического вопроса.

 

 

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

 

Латинский алфавит

А – площадь поперечных сечений

b – ширина конструктивных элементов

С – центр тяжести сечения

d – диаметр вала

Е – модуль продольной  упругости

е – индекс внешних сил

F – модуль силы

f – прогиб, вертикальное перемещение центра тяжести сечения

F _кр – критическая сила

G – модуль сдвига

h – высота конструктивного элемента

J_x, J_y – осевые моменты инерции

J_xy – центральный момент инерции

J _р – полярный момент инерции

J_max, J_min – главные моменты инерции сечения

i_x, i_y – радиус инерции сечения

l – длина конструктивного элемента

M – внешний изгибающий момент

M_x, M_y – внутренние изгибающие моменты относительно соответствующей оси

M _экс – эквивалентный (приведенный) момент

N – продольная сила

n – частота вращения

Р – мощность

р – давление

Q_x, Q_y – поперечная сила

q – распределенная (погонная) нагрузка

S_x – статический момент площади сечения относительно соответствующей оси

– статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси

[ S ] – коэффициент запаса прочности

Т – скручивающий (внешний) момент

W_x, W_y – осевой момент скручивания относительно соответствующей оси

W_p – полярный момент сопротивления

x – горизонтальная ось

y – вертикальная ось

z – продольная ось

Y_A – вертикальная, соответствующая опорной реакции

X_A – горизонтальная, соответствующая опорной реакции

R – модуль опорной реакции

 

Греческий алфавит

a_t – коэффициент линейного расширения (температурная)

g – угол сдвига (относительный сдвиг)

D l –  абсолютная линейная деформация

e – относительная продольная деформация

e¢ – относительная поперечная деформация

w – угловая скорость

d – перемещение поперечных сечений при растяжении (сжатии)

j – коэффициент уменьшения основных допускаемых напряжений

J – угол закручивания вала

m – коэффициент Пуассона

s_y – предел упругости

s_т – предел текучести

s_b – предел прочности

s₁ – предел выносливости

[s] – допускаемое нормальное напряжение

s_оп – опасное (предельное) напряжение

s – нормальное напряжение

s_см – напряжение смятия

t – касательное напряжение

t_ср – напряжение среза

n – коэффициент приведения длины

l – гибкость элемента

s_кр – критические напряжения

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задача 1.1

Расчет шарнирно-стержневой

Пример решения и методические указания к задаче 1.1

Дана шарнирно-стрежневая конструкция АВС (рис. 1.1.2), нагруженная в шарнире В силами F ₁ и F ₂. Требуется:

1. Определить продольные силы в стержнях ВА и ВС.

2. Из расчета на прочность подобрать сечения указанных стержней. Для стержня ВА – круглое с округлением диаметра до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636-69. Для стержня ВС – в виде швеллера по ГОСТ 8240-89.

3. Определить процент перегрузки или недогрузки стержней принятых сечений.

Исходные данные:

· схема шарнирно-стержневой конструкции;

· предел текучести ;

· запас прочности ;

· пружина растянута с силой ;

· .

 

                                             Рис. 1.1.2. К примеру решения задачи 1.1.

Решение

1. Для определения продольных сил в стержнях ВА и ВС вырезаем узел с шарниром В. Изображаем (рис. 1.1.3) действующие на шарнир активные силы: F ₁ (направлена от узла В, так как пружина растянута) и F ₂ (сила натяжения троса); а так же продольные силы N ₁ и N ₂ направленные вдоль стержней ВА и ВС соответственно полагая, что стержни растянуты.

 

Рис. 1.1.3. Шарнир В с указанием внешних и внутренних сил.

Принимаем точку В за начало координат и проводим через нее координатные оси x и y.

Составляем уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

Знак «+» перед N ₂ говорит о том, что стержень ВС на самом деле растянут.

Знак «–» перед N ₁ говорит о том, что стержень ВА на самом деле сжат.

Решение необходимо проверить, проведя новую координатную ось через линию действия силы F ₂,

.

Значит решение выполнено верно.

2. Находим площади поперечных сечений:

,

Определяем диаметр стержня ВА круглого поперечного сечения.

Полученный диаметр округляем до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636-69 (Приложение. Табл. 2).

Выбираем .

Выбираем по ГОСТ 8240-89 размер швеллера, из которого следует изготовить стержень ВС. Наиболее близки по площади поперечного сечения швеллеры с номерами: № 6,5 с  и № 8 с .

.3. Определяем недогрузку или перегрузку для стержней.

Расчетное напряжение s₁:

.

Недогрузка

,

что приемлемо.

Расчетное напряжение s₂ для швеллера № 6,5:

Перегрузка

что не приемлемо.

Расчетное напряжение s₂ для швеллера № 8:

Недогрузка

что приемлемо. Хотя необходимо стремиться к обеспечению недогрузки конструкции не более 5%.

 

Задача 1.2

Пример решения и методические указания к задаче 1.2

 

Исходные данные:

· схема нагружения бруса;

 

· ;

· ;

· форма поперечного сечения – круг;

· механические характеристики и допускаемые напряжения для чугуна серого: .

 

Решение

1. Определение продольных сил на участках бруса.

Вычерчиваем расчетную схему бруса и разбиваем его на участки. Расчет производим от свободного конца бруса, т.е. справа. Используем метод сечений (рис. 1.2.2, а-г). Определяем значение продольных сил на участках. Продольную силу N будем направлять от сечения, т.е. первоначально считать, что участок растянут. Если при решении уравнения равновесия отсекаемой части продольная сила получается с отрицательным знаком, то, следовательно, участок сжатый.

Участок I (сечение I-I)

Участок II (сечение II-II)

Участок III (сечение III-III)

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис. 1.2.2, д).

2. Подбор сечения бруса равного сопротивления.

Участок I растянут. Условие прочности для этого участка имеет вид:

Отсюда

По таблице нормальных размеров принимаем ближайшее большее значение диаметра  Перегрузка не должна превышать 5%.

Проверяем прочность

.

Недонапряжение составляет:

что допустимо.

Участок II сжат. Условие прочности для этого участка

Отсюда

По таблице нормальных размеров принимаем ближайшее большее значение диаметра

Проверяем прочность

Недонапряжение составляет:

Участок III растянут. Условие прочности для этого участка

Отсюда

По таблице нормальных размеров принимаем ближайшее меньшее значение диаметра

Проверяем прочность

Перенапряжение составляет:

что допустимо.

По результатам расчета вычерчиваем схему бруса равного сопротивления (рис. 1.2.2, е).

3. Определяем значения нормальных напряжений на участках бруса

,

,

.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений s, рис. 1.2.2, ж.

4. Определяем абсолютные деформации участков бруса.

,

5. Определяем перемещения сечений бруса d.

Расчет производим от жесткой заделки, т.е. слева, т.к. перемещение в эпюре равно нулю.

,

По полученным значениям строим эпюру перемещений d, рис. 1.2.2, з.

 

 

Рис. 1.2.2. К примеру решения задачи 1.2.

Задача 1.3

Пример решения и методические указания к задаче 1.3

Для системы (рис. 3.2) состоящей из жесткой балки и двух стальных стержней, первый из которых изготовлен на величину короче требуемого размера, а второй нагрет на величину , определить напряжения в стержнях.

Числовые данные для расчета:

, , , .

 

а

а

a

2

D

45°

C

F

В

А

1

 

Рис. 1.3.2. К примеру решения задачи 1.3

 

Решение

1. Определяем степень статической неопределимости системы

,

где С – степень статической неопределимости, Н – число неизвестных (N ₁, N ₂, R_D, H_D), J – число уравнений статики, которые можно составить для данной системы.

При расчете данной системы необходимо одновременно учитывать влияние внешней нагрузки, изменение температуры и неточность изготовления.

При решении возможен одновременный учет всех факторов и в этом случае в уравнение совместности деформаций (деформационное уравнение) должны быть включены все члены, учитывающие влияние всех факторов.

Данную задачу решим более простым и удобным методом суперпозиций (принцип независимости действия сил). В соответствии с ним рассматриваем три задачи: первая – действует только сила F; вторая – определение температурного воздействия; третья – определение монтажных напряжений.

Полученные в результате расчета напряжения алгебраически складываются.

2. Действует только сила F.

Вычерчиваем расчетную схему (рис. 1.3.3).

			N 2
	N 1

D

 

Рис. 1.3.3. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                        (1)

Для составление уравнения совместности деформаций строим схему перемещений (рис. 1.3.4)

Рис. 1.3.4. Схема перемещений

 

Жесткий брус поворачивать против часовой стрелки. Из подобия треугольников СС ₁ D и АА ₁ D следует, что:

                                               (2)

                            (3)

Подставим значения из (3) в (2)

.

Окончательно уравнение совместности деформаций примет вид

                                             (4)

Отсюда выразим N ₁ через N ₂

                         (5)

Подставим значение N ₁ из (5) в (1).

Определяем s_1F и s_2F:

,

3. Влияние температурного воздействия (определение температурного напряжения).

При нагреве второго стержня в нем возникает сжимающее усилие, так как жесткая балка, поддерживаемая стержнем 1, препятствует его свободному удлинению. Стремясь удлиниться, второй стрежень давит на жесткую балку и вызывает растяжение первого стержня.

Вычерчиваем расчетную схему для составления уравнений равновесия (рис. 1.3.5).

Рис. 1.3.5. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                            (6)

Для составления уравнения совместности деформаций строим схему перемещений, происходящих в системе в результате нагрева второго стержня на величину  (рис. 1.3.6).

Рис. 1.3.6. Схема перемещений

 

На рис. 1.3.6:  – деформация стержня 1;  – величина, на которую удлинился бы стержень 2, если бы ему не мешал стержень 1;  – величина, на которую сжался стержень 2 при возникновении в нем внутреннего усилия N ₂;  – величина деформации стержня 2.

Жесткий брус поворачивается против часовой стрелки. Из подобия треугольников СС ₁ D и АА ₁ D следует (см. подробно пункт 2), что

                                                  (7)

Из рис. 1.3.6 следует, что:

.                                                 (8)

Подставим значение D l ₂ из (8) в (7):

.                                       (9)

Отсюда выразим N ₁ через N ₂.

,

т.к.

                                  (10)

Подставим значение N ₁ из (10) в (6):

                            (11)

.

Знак «+», полученный в N ₁ и N ₂, говорит о том, что мы угадали направление N ₁ и N ₂. Стержень 1 подвергается деформациям растяжения, а стержень 2 – сжатия.

Определяем  и

4. Влияние неточности изготовления стержня (определение монтажных напряжений)

При сборке системы (стержень 1 на 1мм короче требуемого размера) в первом стержне возникают растягивающие усилия, так как жесткая балка, поддерживаемая стержнем 2, препятствует соединению стержня 1 с шарниром А. При стремлении соединить стержень 1 с шарниром А жесткая балка давит на стержень 2, вызывая в нем сжимающие усилия.

Вычерчиваем расчетную схему для составления уравнений равновесия (1.3.7).

Рис. 1.3.7. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                            (12)

Для составления уравнения совместности деформаций строим схему перемещений, происходящих в системе при ее сборке из-за прочности изготовления стержня 1 (рис. 1.3.8).

D l 2

Рис. 1.3.8. Схема перемещений

 

На рис. 1.3.85: D l ₁ – перемещение шарнира A при сборке системы; – величина деформации стержня 1; D l ₂ – величина деформации стержня 2; D – величина, на которую стержень 1 был изготовлен короче требуемого размера.

Жесткий брус поворачивается по часовой стрелке. Из подобия треугольников СС ₁ D и AA ₁ D следует, что

                                           (13)

                                           (14)

Подставим значение D l ₁ из (14) в (13):

                                         (15)

Выразим N ₁ через N ₂

                                  (16)

Подставим значение N ₁ из (16) в (12)

,

.

Определяем значение s_1м и s_2м.

5. Определяем действие напряжений в стержнях.

(стержень растянут).

(стержень сжат).

 

 

Задача 1.4

Пример решения и методические указания к задаче 1.4

Для заданного сложного сечения (рис. 1.4.2) требуется:

1. Определить положение центра тяжести сечения.

2. Найти осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей.

3. Определить положение главных центральных осей.

4. Определить значение главных центральных моментов инерции.

5. Определить значения главных центральных радиусов инерции.

6. Вычислить значения моментов сопротивления сечения.

 

 

 

Рис. 1.4.2. Схема сечения.

 

Числовые данные:

h = 420 мм

b = 240 мм

 

Решение

1. Вычерчиваем сложное сечение в удобном масштабе в соответствии с заданными числовыми значениями (рис. 1.4.2).

2. Определяем положение центра тяжести сечения. Используем метод отрицательных масс, дополняем фигуру до прямоугольника и из него вычитаем 3 треугольника (рис. 1.4.3).

Выбираем координаты оси Ох и Оу, совпадающие с собственными центральными осями прямоугольника.

Определяем площади простых элементов сложного сечения.

1. Прямоугольник 420´240 (h ´ b)

Координаты центра тяжести относительно выбранных осей:

.

Рис. 1.4.3

 

2. Треугольник    140´105

.

3. Треугольник    140´105