Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2019-10-30 | 159 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть дано линейное уравнение второго порядка
(3.1)
И требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям
(3.1)
и голоморфное в точке , т.е. представимое в некоторой окрестности точки степенным рядом
(3.3)
Из указанной выше теоремы Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка следует, что искомое решение заведомо существует и единственно, если точка является точкой голоморфности функций p, f и q. Что касается начальных данных и , то их можно брать любыми. Теорема Коши гарантирует также, что ряд (3.3) сходится, по крайней мере, в той же области , в которой сходятся ряды по степеням , представляющие функции p, f и q.
Остается только найти коэффициенты Сk. Это всегда можно сделать, например, методом неопределенных коэффициентов, вычисляя и почленным дифференцированием ряда (3.3) (которое законно, ибо этот ряд сходится в рассматриваемом интервале ) и подставляя у, и в уравнение (3.1), разложив предварительно p, q и f в ряды по степеням . Приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях , придем к уравнениям относительно , которое всегда (последовательно) разрешимы. Заметим, что исследовать найденное решение (3.3) на сходимость не требуется.
Она уже гарантирована теоремой Коши.
На деле (особенно если Сk не имеет удобной структуры) ограничивается вычислением нескольких коэффициентов Ck, чтобы обеспечить заданную точность приближенного решения задачи Коши (3.1), (3.2), получающегося из (3.3) сохранением только первых членов ряда.
В частности, линеаризация решения задачи Коши (3.1), (3.2)
получающаяся из (3.3) отбрасыванием всех степеней , начиная со второй, доставляется уже начальными условиями (3.2) без использования самого дифференциального уравнения (3.1), которое обеспечивает за счёт голоморфности финкций p, q и f справедливость асимптотического представления точного решения задачи Коши (3.1), (3.2):
|
Коэффициенты Сk ряда (3.3) можно найти также методом последовательного дифференцирования.
При этом мы исходим из представления голоморфного решения задачи Коши (3.1), (3.2) в виде ряда Тейлора, т.е. переписываем (3.3) в виде
Значение можем найти из уравнения (3.1), подставив в него вместо , у и их начальные значения , и . Затем, дифференцируя (3.1), имеем
Заменяя здесь , у, , числами , , , , найдем и т.д.
Пример 5. Найти голоморфное решение уравнения
(3.4)
Удовлетворяющее начальным условиям
Так как
То искомое решение существует, единственно и имеет вид
(3.5)
причем ряд справа заведомо сходится при .
Найдем . Перепишем уравнение (3.4) в виде
(3.6)
Разложив коэффициент при у в ряд по степеням . Вычислим и . Имеем
Подставим разложения y и в дифференциальное уравнение (3.6).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
Из этой системы находим
Искомым решением будет
(3.7)
Линеаризация этого решения имеет вид .
Найдем коэффициенты Сk методом последовательного дифференцирования. Имеем
Значение находим из уравнения (3.4), полагая
Получим
откуда . Дифференцируя (3.4), имеем
Откуда
Далее, имеем
Откуда
Заменяя в (3.5) С2, С3, С4, …. Их значениями, снова получим (3.7)
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!