Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2019-10-30 | 469 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Напомним сначала определение голоморфной функции.
Функция называется голоморфной в точке , если она разложима в некоторой окрестности этой точки в степенной ряд по степеням :
(1.1)
В этом случае говорят также, что допускает в области аналитическое представление в виде степенного ряда по степеням .
При этом на и на представляющий её степенной ряд налагаются в указанной окрестности три условия: определена, т.е. имеет конечное значение, ряд сходится и его сумма совпадает с .
Рассмотрим примеры голоморфных функций.
Пример 1.
Функции , , голоморфны в точке , т.к. известно:
, ,
Причём ряды справа сходятся при .
Пример 2.
Полином от , , , - целые функции. В частности, при имеем известные разложения:
Причём ряды справа сходятся при всех .
Пример 3.
Функция является голоморфной в точке , т.к.
Причём ряд справа сходится в области .
Важным частным случаем голоморфных функций являются функции, для которых представление (1.1) имеет место в окрестности любой точки , а ряд сходится при всех значениях . Такие функции называются целыми. (Пример 2.)
Данное выше определение голоморфности функции распространяется на случай функции , зависящей от n независимых переменных. Последняя называется голоморфной в точке , если
Где ряд справа сходится в области (пример 3.)
Вернёмся к функции , зависящей от одной независимой переменной. Из теории степенных рядов известно, что если допускает разложение (1.1), то это разложение единственно; причём коэффициенты выражаются через значения и её производных в точке по известным формулам
Поэтому разложение (1.1) можно переписать в виде
|
(1.2)
Ряд справа называется рядом Тейлора для функции в точке .
Таким образом, всякий сходящийся степенной ряд Тейлора для своей суммы, и мы можем говорить, что функция голоморфна в точке , если она допускает в окрестности этой точки разложение в ряд Тейлора. В частности, функция , для которой имеет место разложение
голоморфна в точке 0.
Из разложения (1.2) следует, что функция , голоморфная в точке , допускает следующее асимптотическое представление при :
Где - бесконечно малая функция при более высокого порядка малости, чем .
В частности, при имеем асимптотическое представление
Отбросив все члены ряда Тейлора (1.2), кроме свободного и члена с первой степенью разности , получаем линеаризацию функции в точке :
(1.3)
Геометрически (рис. 1.1) здесь речь идёт о замене отрезка графика функции в достаточно малой окрестности точки отрезком касательной (1.3) к нему в точке , Совершаемая при этом погрешность будет иметь порядок при , т.е. является бесконечно малой функцией при более высокого порядка малости, чем .
Рис. 1.1 Рис. 1.2
Обратимся теперь к задаче Коши.
Рассмотрим сначала задачу Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме:
(1.4)
Говорят, что задача (1.4) имеет решение
(1.5)
голоморфное в точке (т.е. при начальном значении независимой переменной), если функция (1.5) голоморфна в точке , т.е. представима в виде (1.1):
Или
(1.6)
(здесь свободный член есть начальное значение решения (1.5) при ).
Линеаризация решения задачи Коши (1.4) в точке имеет вид
Или
(т.к. ).
Рассмотрим пример, в котором решение задачи Коши представимо в виде сходящегося степенного ряда.
Пример 4.
Найти голоморфное решение задачи Коши
(1.7)
т.е. нужно найти функцию, которая удовлетворяла бы начальному условию , дифференциальному уравнению легко интегрируется, то мы сначала найдём искомое решение, а потом попытаемся представить его в виде ряда по степеням .
|
Интегрируя уравнение , имеем
Удовлетворяя начальному условию , находим, что . Следовательно, искомым решением будет
(1.8)
Это решение представимо в окрестности начального значения , т.е. в окрестности нуля, известным степенным рядом, а именно геометрическим рядом:
(1.9)
Заметим, что решение (1.8) определено в более широком интервале , так что ряд (1.9) дает аналитическое представление не всего решения (1.8), а лишь сужения его на интервал .
Линеаризацией в точке 0 будет
(см. рис. 1.2).
Для непосредственного нахождения голоморфного решения поставленной задачи Коши (1.7) можно использовать либо метод последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения, основанный на представлении решения в виде ряда Тейлора (ибо всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора для его суммы), либо метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим оба эти метода.
Представляя искомое решение в виде ряда Тейлора по степеням , имеем
(1.10)
Свободный член нам известен из начального условия . Коэффициент при можно найти из дифференциального уравнения , положив в его обеих частях ; приняв во внимание начальное условие , получим
.
Далее, дифференцируя обе части уравнения по (при этом рассматривается как сложная функция от ), имеем:
(1.11)
Полагая здесь и заменяя y и их значениями при , получим
Дифференцируя (1.11) по , найдем:
Откуда, полагая , получим
Аналогично найдем, Подставляя значение и найденные значения производных от у в точке в (1.10), получим снова разложение (1.9).
В методе неопределенных коэффициентов голоморфное решение задачи Коши (1.7) ищется согласно (1.6) в виде
(1.12)
Где - неопределенные коэффициенты, значения которых определяются подстановкой (1.12) в дифференциальное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства (предполагая, что ряд (1.12) сходится, и, используя известную теорему о тождестве степенных рядов). Имеем
Подставляя (1.12) в , получим
|
Выполняя, справа операцию возведения степенного ряда в квадрат, получим
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
Определяя отсюда последовательно найдем, Подставляя найденные значения в ряд (1.12), получим искомое решение в виде (1.9).
Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме
(1.13)
Говорят, что задача (1.13) имеет решение
(1.14)
Голоморфное в точке , если функция (1.14) голоморфна в точке , т.е. представима в виде (1.1):
Или
(1.15)
(Здесь заданные начальные значения решения (1.13) при ). Коэффициенты так же, как и в случае построения голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка, могут быть найдены из самого дифференциального уравнения и уравнений, полученных из него последовательным дифференцированием, или методом неопределенных коэффициентов.
Заметим, что формула (1.6) есть частный случай формулы (1.15) при n = 1. В этом последнем случае нам заранее известно лишь одно первое слагаемое . Обратимся, наконец, к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(1.16)
Решение этой задачи
(1.17)
Называется голоморфным в точке , если все функции (1.17) голоморфны в этой точке. Оно имеет вид
Где - заданные числа (начальные значения искомых функций ).
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!