Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши

 

Теорема Коши

 

Начнем с уравнения первого порядка в нормальной форме. Пусть поставлена задача Коши (1.4)

 

 

Оказывается, если функция  голоморфна в точке , то задача Коши (1.4) имеет голоморфное в точке  решение, и притом единственное. Это решение имеет вид (1.6),

Можно считать начальные данные ,  нулевыми ( = 0,  = 0), ибо этого всегда можно добиться преобразованием . Таким образом, вместо задачи Коши (1.4) мы можем рассматривать задачу

 

 (2.1.1)

Теорема Коши. Если  голоморфна в точке (0, 0), т.е. допускает разложение

 ( 2.1.2)

То задача Коши (2.1.1) имеет единственное решение, голоморфное в точке 0:

 

 (2.1.3)

Доказательство. Утверждение теоремы, будет доказано, если покажем, что все коэффициенты С_k могут быть найдены ( единственным образом) и что ряд ( 2.1.3) сходится в указанной окрестности точки 0. В связи с этим разобьем доказательство на две части.

Часть 1 (построение (единственного) формального решения (2.1.3)). Будем искать (2.1.3) методом неопределенных коэффициентов. Подставляя ряд (2.1.3) в уравнение

 

 (2.1.4)

 

Получим

 

 (2.1.5)

 

(Здесь выполнены формальные операции почленного дифференцирования степенного ряда и подстановки ряда в ряд, законность которых следует из сходимости ряда (2.1.3), которую мы восстановим во второй части доказательства.)

Считая равенство (2.1.5) тождеством (т.к.2.1.3) - решение дифференциального уравнения (2.1.4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь

 

 

Мы видим, что С₁ и С₂ выражены через некоторые первые коэффициенты разложения функции .

Аналогично, приравнивая в (2.1.5) коэффициенты при , найдем

 

 (2.1.6)

 

Где Р_k - полиномы от своих аргументов с положительными коэффициентами (у Р₂ эти коэффициенты равны ).

Таким образом, формальное решение (2.1.3) построено. Из единственности определения С_k следует, что если голоморфное решение задачи Коши (1.4) существует, то оно единственно.

Часть 2. Докажем теперь, что ряд (2.1.3) сходится в некоторой окрестности точки 0. Для этого достаточно построить степенной ряд, мажорирующий ряд (2.1.3), т.е. ряд

 

 (2.1.7)

 

С положительными коэффициентами, сходящийся в некоторой области

 

 (2.1.8)

И такой, что

 

 (2.1.9)

 

Тогда, как известно, ряд (2.1.3) будет заведомо сходиться в той же области (2.1.8)

Для построения ряда (2.1.7) рассмотрим мажорантную задачу Коши:

 

 (2.1.10)

 

Где  - некоторая мажоранта функции . В качестве  возьмем мажоранту Коши

 

 

Где,  а M - сумма ряда

 

 (2.1.11)

 

(который сходится вследствие абсолютной сходимости ряда (2.1.2) в области ), Мажоранта F конструируется на основе оценки Коши коэффициента сходящегося степенного ряда (2.1.2)

 

 (2.1.12)

 

Вытекающей из (2.1.11).

Взяв ряд по степеням  и y с коэффициентом А _тп, получим

 

 

Мажорантная задача Коши (2.1.10) примет вид

 

 (2.1.13)

 

Дифференциальное уравнение, входящее в задачу (2.1.13), называется мажорантным уравнением для уравнения задачи (1.4)

Мажорантная задача (2.1.13) имеет единственное решение. Найдём его.

Интегрируя мажорантное уравнение, имеем

 

,  (2.1.14)

 

Удовлетворяя начальному условию , найдем . Подставляя это значение С в (2.1.14) и умножая обе части на , получим

 

 

Разрешая относительно , найдем

 

 (2.1.15)

 

Это решение голоморфно в точке 0 как суперпозиция двух голоморфных функций:

 

 

Таким образом, решение (2.1.15) представимо в виде

 

 (2.1.16)

 

Где ряд справа в некоторой окрестности точки 0 (по определению голоморфной функции). Оценим область сходимости ряда (2.1.16).

Согласно известной теореме Абеля достаточно ограничиться исследованием положительных значений . Так как радиус сходимости логарифмического и биномиального рядов равен 1, то допустимые значения  должны удовлетворять системе двух неравенств

 

 (2.1.17)

 

Последнее неравенство следует из неравенства с учётом того, что

Решая второе из неравенств (2.1.17), имеем

 

 

Первое из неравенств (2.1.17) выполняется автоматически. Таким образом, ряд (2.1.16) сходится в области

 

 

Остается показать, что все коэффициенты ряда (2.1.16) положительны и что имеют место оценки (2.1.9).

Но это следует из того, что  можно найти методом неопределенных коэффициентов по тому же алгоритму, что и С_k. Получим

 

 (2.1.6 ‘)

 

Где P_k - те же самые полиномы, что и в (2.1.6), только аргументы другие: не коэффициенты разложения функции , а коэффициенты разложения мажоранты F. Из формулы (2.1.6 ‘) в силу положительности коэффициентов полиномов P_k и оценок (2.1.12) следует, что все  положительны и мажорируют C_k, т.е. имеют место оценки (2.1.9). Мажорирующий ряд (2.1.7) построен.

Таким образом, ряд (2.1.16) мажорирует формальное решение (2.1.3), чем завершается доказательство теоремы Коши.