Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров

Наиболее распространенными неоптимизационными методами расчета частотных НЦФ являются методы взвешивания,  частотной выборки и разложения аппроксимируемой функции  в тригонометрический ряд Фурье. Все три  метода используют взаимосвязь ИХ h (i) НЦФ с частотной характеристикой  в виде пары преобразований Фурье (16).

 

Метод взвешивания

Из соотношений (16) следует, что коэффициенты Фурье – разложения частотной характеристики   совпадают со значениями импульсной характеристики  цифрового фильтра. Однако использование этих соотношений для проектирования КИХ – фильтров связано с двумя трудностями. Во-первых, ИХ ЦФ имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (8.16) проводится в бесконечных пределах. Во-вторых, получаемый фильтр является физическим нереализуемым, т.к. его ИХ начинается в -  и никакой её сдвиг не сделает ЦФ физически реализуемым.

Естественным способом преодоления этих трудностей является усечение бесконечного ряда Фурье в (16) до N членов (  при четном N и  при N нечетном). Однако простое усечение ряда приводит к известному явлению Гиббса, связанному с особенностью сходимости рядов Фурье по тригонометрическим и комплексно-экспоненциальным функциям и проявляющемуся в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики. При аппроксимации ЦФ типа идеальных ФНЧ или ПФ максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики может достигать 9% и не уменьшается с увеличением длины импульсной характеристики, т.е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению максимальной амплитуды пульсаций, а только сужает частотный диапазон, на котором они проявляются.

Усечение ряда Фурье можно рассматривать еще как умножение бесконечной ИХ на весовую дискретную функцию  с конечным числом отсчетов, имеющую следующий вид:

                     (56)

(здесь и далее при рассмотрении весовых функций предполагается, что N – нечетное; очевидно, что несложно получить аналогичные результаты и для четного N). Весовая функция  играет роль своеобразного окна, поэтому её называют еще оконной функцией или просто окном. Окно (56) имеет вид прямоугольника и является прямоугольным окном.

    Его частотная характеристика

              (57)

имеет лепестковую форму и содержит один главный лепесток шириной  и ряд боковых лепестков с затухающей амплитудой и шириной, зависящей от N. Когда N возрастает, ширина лепестков уменьшается, однако площадь под каждым лепестком остается неизменной. Частотная характеристика окна позволяет интерпретировать операцию усечения ряда Фурье в частотной области. Передаточную функцию усеченного фильтра можно получить путем свертки передаточной функции неусеченного фильтра и частотной характеристики окна. Когда частотная точка удалена от места разрыва, вклад обеих частей частотной характеристики окна в интеграл свертки приблизительно одинаков, что приводит к малой погрешности аппроксимации. Вблизи точек разрыва свертка приводит к появлению двух эффектов: во-первых, к появлению погрешности в частотной характеристике ЦФ из-за неравного вклада обеих частей частотной характеристики окна и, во-вторых, к «размыванию» разрыва в пределах некоторой полосы частот конечной ширины.

    Ширина этой полосы частот зависит от ширины главного лепестка, а пульсация зависит от амплитуды боковых лепестков. Учитывая форму частотной характеристики (57) прямоугольного окна, можно понять, почему погрешность в полученной частотной характеристике фильтра не зависит от числа N, поскольку она является функцией площади под боковыми лепестками.

    Таким образом, проведенный качественный анализ показывает, что простое усечение ряда Фурье может не привести к приемлемой аппроксимации частотных характеристик и поэтому может казаться непригодным для проектирования нерекурсивных частотных ЦФ. С другой стороны, оно подсказывает идею управления сходимостью ряда Фурье с помощью других окон, форма которых должна иметь малую ширину главного лепестка частотной характеристики и малую площадь под боковыми лепестками. В идеале в таких окнах большая часть энергии должна содержаться в главном лепестке частотной характеристики, а энергия в боковых лепестках должна быстро уменьшаться при приближении ω к .

    К сожалению, эти два требования несовместимы и возможно только их компромиссное выполнение. Тем не менее в ЦОС известны оконные весовые функции, состоящие из главного лепестка, содержащего почти всю энергию окна, и боковых лепестков, которые быстро затухают. К ним относятся окна Ганна, Хэмминга, Кайзера, Блэкмана, Фейера, Долфи-Чебышева, Ланцоша, Каппелини и другие. В качестве примера рассмотрим только окна Ганна и Хэмминга.

Окна Ганна и Хэмминга являются частными случаями более общего окна, называемого еще обобщенным окном Хэмминга. Обобщенное окно имеет следующий вид

          (58)

причем параметр  лежит в диапазоне . При =0,5 из окна (58) следует окно Ганна, а при =0,54 – окно Хэмминга. Частотную характеристику обобщенного окна Хэмминга можно легко получить, если учесть, что оно может быть представлено в виде произведения прямоугольного окна и окна, определяемого формулой (58), но для всех значений i, т.е.

                         (59)

где  - прямоугольное окно (56). Тогда частотная характеристика обобщенного окна будет равна круговой свертке частотной характеристики прямоугольного окна   с последовательностью единичных  импульсов

и принимает следующий вид:

      (59)

    Анализ показывает, что ширина главного лепестка частной характеристики окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного окна, а уровень боковых лепестков значительно ниже, чем у характеристики прямоугольного окна. При =0,54, т.е. для обычного окна Хэмминга, 99,96% общей энергии спектра сдержится в главном лепестке, а максимумы боковых лепестков на 40 дБ ниже главного максимума (для прямоугольного окна максимум боковых лепестков ниже главного максимума всего на 14 дБ). Достигается это тем, что боковые лепестки функции  находятся в противофазе с боковыми лепестками , поэтому общий уровень боковых лепестков значительно уменьшается. В то же время пропорционально увеличивается ширина главного лепестка частотной характеристики. Для ФНЧ расширение главного лепесток соответствует расширению полосы безразличия между полосами пропускания и задерживания, тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе задерживания фильтра.

    Методика синтеза НЦФ по методу взвешивания включает в себя следующие три этапа. На первом этапе по заданной частотной характеристике фильтра с помощью прямого преобразования Фурье определяется невзвешенная последовательность значений ИХ ЦФ :

                           (60)

Когда характеристика  имеет сложный вид или не может быть просто преобразована в замкнутое математическое выражение, формула (60) оказывается громоздкой или неудобной для интегрирования. В этом случае можно использовать численное интегрирование либо аппроксимировать интеграл (60) суммой и вычислять приближенную последовательность  по формуле

.                                (61)

По этой формуле значения  рассчитываются в М точках .

Поскольку формула (61) является дискретизированным аналогом формулы (60), то

Отсюда следует, что с ростом М различие между  и  уменьшается, особенно вблизи . Поскольку окно выделяет только N точек , должно выполняться условие .

    На втором этапе синтеза формируется взвешенная последовательность  путем умножения невзвешенной ИХ на весовую последовательность окна, т.е . За пределами интервала -  эта последовательность в точности равна нулю.

    На третьем этапе с помощью временного сдвига физически нереализуемая последовательность  преобразуется в физически реализуемую

которая и используется в качестве искомой ИХ фильтра.

    Пример 22. Рассчитать идеальные ФНЧ с параметрами  и  методом взвешивания с прямоугольным окном и окном Хэмминга. Вычислить также АЧХ каждого варианта ФНЧ для девяти равноотстоящих значений частоты , начиная с =0 при шаге =0,0625.

    Решение. Преобразуя уравнение (9.45) к нормированной частоте

принимая

и выбирая для синтеза ФНЧ ЦФ вида 1, после интегрирования, взвешивания и временного сдвига импульсной характеристики получаем

- для прямоугольного окна:

 

      (62)

- для окна Хэмминга:

 

       (63)

 

  Таблица 1

i	Значение ИХ
	N =11	N =15
0 1 2 3 4 5 6 7	-0,0450158 -0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000   -   -	-0,0321542 -0,0530516 -0,0450158 0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000

 

Результаты расчетов импульсных характеристик по этим формулам приведены в табл. 1 и 2 соответственно, причем приведена только первая половина симметричных значений ИХ. Реальную АЧХ вычисляем по общей зависимости (13) с учетом соотношения (17). Её значения, соответствующие ФНЧ с ИХ (9.47) и (9.48), приведены в табл. 3 и 4. Из их сравнения следует более высокая точность синтеза ФНЧ с окном Хэмминга по сравнению с ФНЧ с прямоугольным окном, особенно в полосе задерживания фильтра.

 

Таблица 2

i	Значение ИХ
	N =11	N =15
0 1 2 3 4 5 6 7	-0,0044401 0,0000000 0,0356026 0,1163567 0,2086430 0,2500000    -    -	-0,0028955 -0,0089048 -0,0139549  0,0000000  0,0511791  0,1349316  0,2161279  0,2500000

 

 

Таблица 3

w	Значение АЧХ A
	N =11	N =15
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000	1,0784891 0,9828473 0,5258686 0,0246200 0,0683099 0,0744619 0,0258686 0,0326891 0,0581306	0,9080775 1,1172868 0,4803957 0,0750367 0,0377934 0,0251742 0,0196043 0,0170759 0,0163357

 

Таблица.4

w	Значение АЧХ A
	N =11	N =15
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000	0,9623247 0,8307227 0,5009953 0,1711459 0,0172865 0,0002525 0,0009953 0,0016162 0,0031022	1,0029665 0,9079693 0,4989131 0,0938660 0,0020535 0,0006968 0,0010869 0,0011385 0,0011405

 

Метод частотной выборки

Если в (16) использовать не все значения непрерывной частоты w, а только N некоторых выборочных значений , где  - постоянный шаг дискретизации по частоте, то пара интегрально-дискретных преобразований Фурье (16) превращается в пару конечных дискретных преобразований Фурье:

                                                                                    (64)

                                                                                      (65)

где  - выборочные значения частотной характеристики в точках, кратных . Формулы (56), (65) и определяют метод частотной выборки расчета НЦФ.

При их использовании получаемый НЦФ с некоторой точностью аппроксимирует заданную частотную характеристику. Погрешность аппроксимации возникает из-за ограниченности бесконечного ряда в (16)  первыми членами, она точно равна нулю в точках частот взятия выборки и имеет конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой является задаваемая частотная характеристика, тем меньше погрешность аппроксимации между частотными отсчетами. С увеличением N погрешность аппроксимации так же уменьшается.

Для частотных НЦФ с точно линейной фазовой характеристикой можно получить удобные аналитические выражения для , вид которых зависит от способа выбора N равноотстоящих отсчетов частотной характеристики. Существует два способа выбора отсчетных точек, пригодных для расчета НЦФ методом частотной выборки. При первом способе используют отсчеты в точках

                                                       (66)

при втором -  в точках

                                          (67)

Наличие двух способов дискретизации частоты дает дополнительные возможности при расчете фильтров с заданной частотной характеристикой. Например, если граничная частота полосы фильтра оказывается намного ближе к точке выборки, используемой при втором способе дискретизации частоты, чем при первом, то целесообразно использовать для решения задачи аппроксимации второй способ дискретизации частоты. В противном случае применяют первый способ дискретизации частоты.

Для практического вычисления h (i) НЦФ с точно линейной ФЧХ необходимо, чтобы дискретная АЧХ  была четной функцией, а дискретная ФЧХ  - нечетной. Этого можно добиться только с помощью фильтров вида 1 и 2. В них целесообразно представить H (k) в показательной форме записи. Для первого способа дискретизации частоты

                       (68)

причем

                                                      (69)

и при четном N

                        (70)

                               

а при нечетном N

                                  (71)

При втором способе дискретизации частоты

                                                            (72)

                                                               (73)

и при четном N

      (74)

а при нечетном N

                                                                                  (75)

В формулах (68), (69), (73) ‒ (75)  есть дискретная АЧХ фильтра  или .

Зависимости (66) – (75) позволяют получить более удобные аналитические выражения для расчета импульсных характеристик фильтров методом частотной выборки. Действительно, например, при первом методе дискретизации частоты и четном N, используя в формуле (65) соотношения (68) и (70) для частотной характеристики, получаем

Подстановка  во вторую сумму дает

Учитывая свойство (69) АЧХ и то, что

а

после объединения членов в выражении для  находим

               

Потребовав выполнения равенства , окончательно получаем

    Для нечетных значений N использование зависимостей (68), (71) и (65) приводит к похожему соотношению для ИХ:

      (76)

Аналогичных результатов можно добиться и для второго способа дискретизации частоты, если в ряде (73) использовать частотные характеристики (74) и (75). В этом случае после математических преобразований получаем:

- при четном N

- при нечетном N

     Найденные выражения для ИХ фильтра определяют алгоритм его расчета методом частотной выборки. В нем дискретные значения аппроксимируемой функции равны:

- для первого способа дискретизации частоты

 

- для второго способа дискретизации частоты

        

Пример 23  9.11. Рассчитать равнополосные ФНЧ с параметрами =0,125, =0,375 при =0,1с и N =11; 15 методом частотной выборки с первым способом дискретизации частоты. Вычислить также АЧХ каждого фильтра с шагом =0,0625.

Решение. Используя в алгоритме (9.61)  (9.22), найдем значения ИХ , а

по формуле (8.13) рассчитаем реальную АЧХ  фильтров для N =11 и N =15. Результаты расчетов приведены в табл. 9.5 и 9.6, причем в табл. 9.5 представлена только первая половина симметричных значений ИХ.

 

 

                                                                 Таблица 9.5

i	Значение ИХ
	N=11	N=15
0 1 2 3 4 5 6 7	-0,0106270       0,0064917      -0,0319200       0,0018905      0,2862309      0,4958678              -              -	0,0060344       0,0029472      -0,0111111      -0,0028297      -0,0318361      -0,0007230       0,2864073       0,5022222

 

Таблица 9.6

w	Значение АЧХ А (w)
	N=11	N=15
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000	1,0000000      1,0111301      0,9478464      0,7516102      0,5050703      0,2347783      0,0179221      0,0140475       0,0252644	1,0000000 0,9992311 0,9821931 0,7602956 0,4921145 0,2545298 0,0335702 0,0051677 0,0020222