Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров

Процесс проектирования нерекурсивных фильтров включает в себя ряд этапов, каждый из которых, в свою очередь, содержит определенные подэтапы. Состав этапов зависит от назначения фильтра.

Для частотных фильтров на первом этапе осуществляют математическую постановку задачи аппроксимации, поскольку точное воспроизведение исходно задаваемых частотных характеристик невозможно. Этот этап включает в себя следующие подэтапы:

- выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида или минимально-фазового);

- выбор аппроксимируемой функции , задающей требования к заданной частотной характеристике;

- выбор аппроксимирующей функции , значения которой определяют требуемую частотную характеристику фильтра (например, АЧХ). Здесь  - вектор коэффициентов, совпадающий с вектором значений импульсной характеристики фильтра  либо достаточно просто аналитически связанный с ним;

- обеспечение приблизительного равенства аппроксимирующей и аппроксимируемой функций:

                                                               (41)

при заданных значениях w. При этом, если равенство (41) обеспечивается без всякого критерия, уточняющего его смысл, то аппроксимационная задача является неоптимизационной, если же для выполнения равенства используется какой-либо критерий приближения (аппроксимации), то аппроксимационная задача является оптимизационной. Для ее решения необходимо на этом подэтапе выбрать критерий приближения;

- определение весовой функции аппроксимации q (w), задающей требования по точности приближения на различных участках диапазона изменения нормированной частоты w.

Таким образом, целью первого этапа является математическая формулировка задачи вычисления коэффициентов { c } (или импульсной характеристики h (i)) по заданным требованиям к характеристикам фильтра.

Второй этап проектирования частотных НЦФ состоит в решении задачи вычисления коэффициентов { c }. По сути дела это этап расчета НЦФ, его называют еще этапом аналитического синтеза НЦФ. Этот этап включает в себя следующие подэтапы:

- оценка необходимого порядка N фильтра;

- расчет вектора коэффициентов { c } и связанных с ним значений ИХ фильтра;

- оценка точности воспроизведения задаваемых характеристик и ее сравнение с предъявляемыми требованиями.

Если требования к характеристикам выполняются, то второй этап завершается, в противном случае необходимо вернуться ко второму подэтапу и рассчитать вектор коэффициентов { c } для большего значения N.

Целью второго этапа является определение всех параметров НЦФ (порядка N и значений ИХ h (i)).

Третий этап заключается в программной или аппаратной реализации НЦФ. Он содержит следующие основные подэтапы:

- выбор формы реализации и оценка реализационных характеристик;

- оценка разрядности представления входных и выходных сигналов, значений импульсной характеристики НЦФ и промежуточных данных;

- выбор элементной базы, разработка функциональной и принципиальной схем при аппаратной реализации НЦФ в виде специализированного устройства;

- программирование на языке используемого процессора (общего назначения или специализированного, например какого-либо сигнального процессора) при программной реализации фильтра;

- оценка точности реализации требуемых характеристик фильтра при ограниченной разрядной сетке (оценка собственных шумов фильтра).

При выполнении третьего этапа возможна ситуация, когда полученные оценки по разрядности элементов НЦФ и точности воспроизведения характеристик не могут быть выполнены на реальных устройствах. В этом случае необходимо вновь вернуться ко второму этапу и решить задачу аналитического синтеза НЦФ более точными методами при большем значении порядка фильтра N и снова перейти к третьему этапу.

 

Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей функциям

В частотных фильтрах аппроксимируемая функция строится на основе

задаваемых частотных характеристик НЦФ. Для избирательных фильтров она имеет следующий вид: в полосах пропускания B (w) = 1; в полосах задерживания B (w) = 0; в промежуточных полосах (полосах безразличия) значения B (w) не заданы и могут быть приняты любыми в пределах от нуля до единицы. Полезно в полосах безразличия доопределить B (w) любым простым законом изменения (обычно линейным) с целью уменьшить систематические погрешности аппроксимации, обусловленные явлением Гиббса.

Пример 15. Записать аппроксимируемую функцию для ФНЧ.

 

Рис. 10. АЧХ ФНЧ

Решение. Для ФНЧ

                                         (42)

График функции  приведен на рис. 10.

Пример 16. Записать аппроксимируемую функцию для ФВЧ.

Решение. Функция  имеет вид

                                                        (43)

График функции  изображен на рис. 11.

Рис. 11. АЧХ ФВЧ

Пример 17. Записать аппроксимируемую функцию для ПФ.

Решение.

                                        (44)

График функции  представлен на рис. 12.

Рис. 12. АЧХ ПФ

Пример 18. Записать аппроксимируемую функцию для РФ.

Решение. Для режекторного фильтра

                                           (45)

График функции  приведен на рис. 13.

Рис. 13. АЧХ РФ

В функциональных фильтрах аппроксимируемая функция как таковая не образуется. В качестве аппроксимируемой функции выступает входной сигнал, состоящий из смеси полезной составляющей и помехи.

Аппроксимирующая функция  в частотных фильтрах должна удовлетворять следующим требованиям:

вектор коэффициентов { c } должен быть связан с вектором значений импульсной характеристики ;

функция  должна просто зависеть от вектора { c };

при заданных значениях w должно выполняться соотношение (41).

Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации является линейная зависимость функции  от вектора { c }:

                                              (46)

где  - известные функции частоты. Поскольку в НЦФ с линейной ФЧХ частотные характеристики выражаются линейными зависимостями относительно  с тригонометрическими функциями, то целесообразно в аппроксимирующих функциях принять в качестве  функции косинуса или синуса.

Пример 20. Записать аппроксимирующие функции для избирательных фильтров.

Решение.  Для ФНЧ

              (47)

Для первого выражения формулы (9.27) ; , , для второго - , .

Для ФВЧ

                (48)

Для первого выражения формулы (9.28) ; , , второго ‒ , .

Для ПФ

                    (49)

Для первого выражения формулы (49) ; , , для второго ‒ , , для третьего ‒ , , , для четвертого — , .

Для РФ

                                                   (50)

В формуле (9.30) , , .

 

Если для ФНЧ , требования к точности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания одинаковы и
N - нечетное, то часть коэффициентов  оказывается известной заранее:

                (51)

Такие фильтры называют равнополосными или полуполосными, у них , и реализационные характеристики лучше, чем у обычных избирательных фильтров с линейной ФЧХ:

.

Пример 21. Записать аппроксимирующую и аппроксимируемую функции для преобразователя Гильберта.

Решение. При построении ПГ в виде нерекурсивного фильтра целесообразно использовать фильтр вида 3, причем аппроксимирующая и аппроксимируемая функции имеют вид

                         (52)

                            (53)

где  - граничные значения заданной полосы частот. При  и выборе постоянной весовой функции  ПГ реализуется в виде равнополосного нерекурсивного фильтра.

Для минимально-фазовых фильтров обычно формулируют две основные задачи аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ  и ФЧХ  фильтра; требуется определить так, чтобы выполнялись приближенные равенства:

                              (54)

При этом вводятся аппроксимируемые функции

и аппроксимирующие функции

так что вместо (9.34) рассматриваются эквивалентные им приближенные равенства

                              (55)

Во второй задаче аппроксимации задана лишь АЧХ , а ФЧХ может быть произвольной. В этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая функции имеют вид

причем функция  не должна иметь вещественных корней нечетной кратности. Тогда, используя (9.3), можно построить функцию

(N ‒ нечетное), вычислить корни  и построить передаточную функцию  искомого минимально-фазового фильтра так, чтобы корни  совпадали с корнями , лежащими внутри и на единичной окружности в комплексной z -плоскости. Тогда