И антисимметричной импульсной характеристикой

Свойства симметрии и антисимметрии импульсной характеристики НЦФ позволяют преобразовать общую форму записи их частотных характеристик (7), (10) и (11) к более простому виду, весьма полезному для практики расчета таких фильтров. Получим эти новые зависимости для всех четырех видов НЦФ, попутно подтвердив линейный характер их ФЧХ.

Фильтр вида 1. Используя свойство симметрии ИХ, из общей формулы АЧХ (8.10) получим

             

             

Учитывая известные зависимости для сумм косинусов и синусов разных аргументов, после преобразований приходим к результату

                      

из которого следует выражение для АЧХ:

                      

это выражение путем линейного преобразования индекса  можно привести к виду

                                   (21)

Для ФЧХ из формулы (8.11) имеем

           

          

           

           

                                       (22)

Комплексная частотная характеристика (7) для этого вида НЦФ такова:

           .      (23)

Фильтр вида 2. В этом случае N делится пополам и суммы в АЧХ и ФЧХ содержат только парные составляющие, поэтому после тригонометрических преобразований и линейной переиндексации  получаем

                                              (24)

                                                                         (25)

                          (26)

Фильтр вида 3. Для этого фильтра среднее значение его импульсной характеристики равно нулю, т.е. . Кроме того, для него и следующего фильтра вида 4 суммы в АЧХ и ФЧХ будут содержать разности тригонометрических функций. Используя формулы таких разностей, получим

                                         (27)

                                                                       (28)

           (29)

Фильтр вида 4. В этом случае

                                      (30)

                                                               (31)

    (32)

Таким образом, полученные результаты подтверждают линейный характер ФЧХ НЦФ с симметричными и антисимметричными импульсными характеристиками. АЧХ в таких фильтрах представляются линейными аналитическими выражениями относительно импульсной характеристики, что может быть использовано при расчете НЦФ по заданной АЧХ.

Запись АЧХ в виде линейной суперпозиции взвешенных косинусоид или синусоид позволяет определить область применения различных видов НЦФ с точно линейными ФЧХ. АЧХ фильтров вида 1 не имеет особых точек и может принимать различные значения в зависимости от значений ИХ . Поэтому такие фильтры могут быть использованы для проектирования любых частотных и функциональных фильтров.

АЧХ фильтров второго вида равна нулю при  независимо от значений ИХ. Отсюда следует, что такие фильтры нельзя использовать для аппроксимации частотных фильтров с частотной характеристикой, отличной от нуля в точке  (например, фильтров верхних частот). АЧХ фильтров вида 3 равна нулю при  и , а ФЧХ без учета множителя с линейным изменением фазы являются чисто мнимой функцией (так как ). Поэтому этот вид фильтров не пригоден для проектирования ФНЧ и ФВЧ, но пригоден для аппроксимации ПФ и особенно ПГ. АЧХ фильтров вида 4 равна нулю при . Следовательно, фильтры этого вида не могут быть использованы для фильтрации низких частот, однако хорошо подходят для разработки ПФ, ФВЧ и  ПГ.

При использовании нормированной частоты w частотные характеристики НЦФ принимают следующий вид:

а) фильтр вида 1

                        (33)

                                                               (34)

б) фильтр вида 2

                                             (35)

                                                                   (36)

в) фильтр вида 3

                                 (37)

                                                            (38)

г) фильтр вида 4

                                    (39)

                                                              (40)

Эти зависимости в дальнейшем будут использованы для решения задачи аналитического синтеза частотных фильтров.