Передаточные функции цифровых фильтров

Цифровые фильтры

Цифровая фильтрация является важной операцией цифровой обработки сигналов в современных системах железнодорожной связи и автоматики. Она реализуется с помощью цифровых фильтров (ЦФ), которые представляют собой системы, предназначенные для преобразования структуры входного сигнала к виду, определяемому характером его дальнейшего использования. ЦФ относятся к классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным  и выходным  дискретными сигналами в которых определяется следующим разностным уравнением:

                         (1)

Здесь пределы суммирования  и  и величины  и  являются параметрами фильтра, причем коэффициенты  и  могут быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени .

Сигналы  и  могут быть как вещественными, так и комплексными. Уравнение (1) можно рассматривать как алгоритм вычисления , т.е. алгоритм работы ЦФ. Его реализация в виде устройства приведет к аппаратному способу реализации ЦФ, а программирование на выбранном языке ‒ к программному способу реализации ЦФ.

Как правило, решение уравнения (1), т.е. решетчатую функцию , требуется определить при . Если известны коэффициенты  и , отсчеты входного сигнала  при  и начальные значения  то, используя (1), можно рассчитать отсчеты  для любого . Уравнение (1) дает аналитическое описание ЦФ во временной области.

Если коэффициенты a_k и b_l не зависят от дискретного времени i, то ЦФ являются системами с постоянными параметрами, в противном случае они будут принадлежать классу систем с переменными параметрами.

Пример 1. Записать уравнение ЦФ с постоянными параметрами  и рассчитать значения  для  при  и  при . Начальное значение .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Входной и выходной сигналы являются вещественными.

Пример 2. Записать уравнение комплексного ЦФ с постоянными параметрами  и рассчитать значения выходного сигнала для условий предыдущего примера. Здесь  (мнимая единица).

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Входной сигнал ЦФ является вещественным, а выходной ‒ комплексным.

Пример 3. Записать уравнение ЦФ с переменными коэффициентами при  и  для .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Выходной сигнал веществен, поскольку веществен входной сигнал и

 

Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные (РЦФ) и нерекурсивные (НЦФ). Если в уравнении (1) хотя бы один коэффициент a_k отличен от нуля, то фильтр называют рекурсивным. Если же в (1) все коэффициенты a_k равны нулю, то фильтр, реализующий такой алгоритм, называют нерекурсивным. Для него разностное уравнение (1) упрощается:

                                                                        (2)

Очевидно, что НЦФ представляет собой систему без обратной связи, а РЦФ - систему с обратной связью.

 

Частотные характеристики нерекурсивных фильтров с симметричной

Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей функциям

В частотных фильтрах аппроксимируемая функция строится на основе

задаваемых частотных характеристик НЦФ. Для избирательных фильтров она имеет следующий вид: в полосах пропускания B (w) = 1; в полосах задерживания B (w) = 0; в промежуточных полосах (полосах безразличия) значения B (w) не заданы и могут быть приняты любыми в пределах от нуля до единицы. Полезно в полосах безразличия доопределить B (w) любым простым законом изменения (обычно линейным) с целью уменьшить систематические погрешности аппроксимации, обусловленные явлением Гиббса.

Пример 15. Записать аппроксимируемую функцию для ФНЧ.

 

Рис. 10. АЧХ ФНЧ

Решение. Для ФНЧ

                                         (42)

График функции  приведен на рис. 10.

Пример 16. Записать аппроксимируемую функцию для ФВЧ.

Решение. Функция  имеет вид

                                                        (43)

График функции  изображен на рис. 11.

Рис. 11. АЧХ ФВЧ

Пример 17. Записать аппроксимируемую функцию для ПФ.

Решение.

                                        (44)

График функции  представлен на рис. 12.

Рис. 12. АЧХ ПФ

Пример 18. Записать аппроксимируемую функцию для РФ.

Решение. Для режекторного фильтра

                                           (45)

График функции  приведен на рис. 13.

Рис. 13. АЧХ РФ

В функциональных фильтрах аппроксимируемая функция как таковая не образуется. В качестве аппроксимируемой функции выступает входной сигнал, состоящий из смеси полезной составляющей и помехи.

Аппроксимирующая функция  в частотных фильтрах должна удовлетворять следующим требованиям:

вектор коэффициентов { c } должен быть связан с вектором значений импульсной характеристики ;

функция  должна просто зависеть от вектора { c };

при заданных значениях w должно выполняться соотношение (41).

Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации является линейная зависимость функции  от вектора { c }:

                                              (46)

где  - известные функции частоты. Поскольку в НЦФ с линейной ФЧХ частотные характеристики выражаются линейными зависимостями относительно  с тригонометрическими функциями, то целесообразно в аппроксимирующих функциях принять в качестве  функции косинуса или синуса.

Пример 20. Записать аппроксимирующие функции для избирательных фильтров.

Решение.  Для ФНЧ

              (47)

Для первого выражения формулы (9.27) ; , , для второго - , .

Для ФВЧ

                (48)

Для первого выражения формулы (9.28) ; , , второго ‒ , .

Для ПФ

                    (49)

Для первого выражения формулы (49) ; , , для второго ‒ , , для третьего ‒ , , , для четвертого — , .

Для РФ

                                                   (50)

В формуле (9.30) , , .

 

Если для ФНЧ , требования к точности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания одинаковы и
N - нечетное, то часть коэффициентов  оказывается известной заранее:

                (51)

Такие фильтры называют равнополосными или полуполосными, у них , и реализационные характеристики лучше, чем у обычных избирательных фильтров с линейной ФЧХ:

.

Пример 21. Записать аппроксимирующую и аппроксимируемую функции для преобразователя Гильберта.

Решение. При построении ПГ в виде нерекурсивного фильтра целесообразно использовать фильтр вида 3, причем аппроксимирующая и аппроксимируемая функции имеют вид

                         (52)

                            (53)

где  - граничные значения заданной полосы частот. При  и выборе постоянной весовой функции  ПГ реализуется в виде равнополосного нерекурсивного фильтра.

Для минимально-фазовых фильтров обычно формулируют две основные задачи аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ  и ФЧХ  фильтра; требуется определить так, чтобы выполнялись приближенные равенства:

                              (54)

При этом вводятся аппроксимируемые функции

и аппроксимирующие функции

так что вместо (9.34) рассматриваются эквивалентные им приближенные равенства

                              (55)

Во второй задаче аппроксимации задана лишь АЧХ , а ФЧХ может быть произвольной. В этом случае аппроксимируемая и аппроксимирующая функции имеют вид

причем функция  не должна иметь вещественных корней нечетной кратности. Тогда, используя (9.3), можно построить функцию

(N ‒ нечетное), вычислить корни  и построить передаточную функцию  искомого минимально-фазового фильтра так, чтобы корни  совпадали с корнями , лежащими внутри и на единичной окружности в комплексной z -плоскости. Тогда

 

Цифровые фильтры

Цифровая фильтрация является важной операцией цифровой обработки сигналов в современных системах железнодорожной связи и автоматики. Она реализуется с помощью цифровых фильтров (ЦФ), которые представляют собой системы, предназначенные для преобразования структуры входного сигнала к виду, определяемому характером его дальнейшего использования. ЦФ относятся к классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным  и выходным  дискретными сигналами в которых определяется следующим разностным уравнением:

                         (1)

Здесь пределы суммирования  и  и величины  и  являются параметрами фильтра, причем коэффициенты  и  могут быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени .

Сигналы  и  могут быть как вещественными, так и комплексными. Уравнение (1) можно рассматривать как алгоритм вычисления , т.е. алгоритм работы ЦФ. Его реализация в виде устройства приведет к аппаратному способу реализации ЦФ, а программирование на выбранном языке ‒ к программному способу реализации ЦФ.

Как правило, решение уравнения (1), т.е. решетчатую функцию , требуется определить при . Если известны коэффициенты  и , отсчеты входного сигнала  при  и начальные значения  то, используя (1), можно рассчитать отсчеты  для любого . Уравнение (1) дает аналитическое описание ЦФ во временной области.

Если коэффициенты a_k и b_l не зависят от дискретного времени i, то ЦФ являются системами с постоянными параметрами, в противном случае они будут принадлежать классу систем с переменными параметрами.

Пример 1. Записать уравнение ЦФ с постоянными параметрами  и рассчитать значения  для  при  и  при . Начальное значение .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Входной и выходной сигналы являются вещественными.

Пример 2. Записать уравнение комплексного ЦФ с постоянными параметрами  и рассчитать значения выходного сигнала для условий предыдущего примера. Здесь  (мнимая единица).

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Входной сигнал ЦФ является вещественным, а выходной ‒ комплексным.

Пример 3. Записать уравнение ЦФ с переменными коэффициентами при  и  для .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :

и т.д. Выходной сигнал веществен, поскольку веществен входной сигнал и

 

Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные (РЦФ) и нерекурсивные (НЦФ). Если в уравнении (1) хотя бы один коэффициент a_k отличен от нуля, то фильтр называют рекурсивным. Если же в (1) все коэффициенты a_k равны нулю, то фильтр, реализующий такой алгоритм, называют нерекурсивным. Для него разностное уравнение (1) упрощается:

                                                                        (2)

Очевидно, что НЦФ представляет собой систему без обратной связи, а РЦФ - систему с обратной связью.

 

Передаточные функции цифровых фильтров

Передаточной функцией  ЦФ называется отношение z -образов выходного  и входного  сигналов фильтра при нулевых начальных условиях:

                                                                           (3)

Вычисляя z -преобразование выходного сигнала по разностным уравнениям (1) и (2):

из общей формулы (3) после простых преобразований можно получить более удобные для использования зависимости для передаточных функций рекурсивных и нерекурсивных ЦФ:

                                            (4)

                                                                                                 (5)

Передаточные функции (4) и (5) содержат все те же параметры фильтров, что и разностные уравнения (1) и (2), и поэтому дают полное описание ЦФ. Они определяют собой способ аналитического описания ЦФ в z -области.

Пример 4. Записать передаточную функцию рекурсивного ЦФ с разностным уравнением .

Решение. В соответствии с (4) передаточная функция этого РЦФ будет иметь следующий вид:

Передаточные функции оказываются весьма полезными при рассмотрении различных форм реализации ЦФ и анализе их динамических свойств. Кроме того, из передаточных функций легко получить частотные характеристики ЦФ, широко используемые при анализе и синтезе фильтров.