Сложение более двух двоичных чисел

При сложении трех, четырех и т.д. двоичных чисел в разрядах слагаемых может образоваться с учетом переносов 4–7 единиц. Сложение такого числа единиц подчиняется общему правилу: число единиц необходимо записать в двоичном виде, при этом младший разряд полученного двоичного числа записывается в том разряде суммы, где образовано складываемое число единиц, остальные разряды двоичного числа определяют расположение единиц переносов. Сложение четырех единиц дает: I + I + I + I = I00₂ = 4, в разряд суммы записываем ноль и образуем единицу переноса через разряд и т.д.

 

Умножение двоичных чисел

Умножение двоичных чисел производится по тому же правилу, что и умножение десятичных чисел. Учитывая, что в разрядах множителя записываются только цифры 0 или I, легко сформулировать правило умножения двоичных чисел:

1) Записываем множимое и множитель так, чтобы их разряды с одинаковым " весом " находились один под другим:

 

А = 10101,01 – множимое

х В = 10011,10 – множитель

………..

2) Определяем число единиц в множителе и их местоположение.

3) Множимое переписываем справа – налево (его запятая игнорируется), нанимая с местоположения единицы множителя, и делаем это столько раз, сколько единиц в множителе.

4) Складываем арифметически полученные двоичные числа, их количество равно числу единиц множителя.

5) Местоположение запятой в произведении определяется суммой разрядов после запятой множимого и множителя.

Пример: 1101,01 = А

х 0101,01 = В

1101 01

+ 110101

+ 110101

А х В = 1000101,10 01

переносы: 11111 1

 

Вычитание двоичных чисел

Вычитание легко представить как алгебраическое сложение:

А – В = А + (–В)

Следовательно, для осуществления алгебраического сложения необходимо ввести знаковые разряды: положительные числа имеют знаковый разряд " 0 ", отрицательные числа – знаковый разряд " 1 ". Кроме того, отрицательные числа представляются в обратном коде, для этого все разряды числа, кроме знакового, инвертируются: 0 заменяют на 1 и наоборот.

Пример: А = 10111,011

В прямом коде –A = 110111,011

В обратном коде – А = 101000,100

 

Деление двоичных чисел

Деление двоичных чисел производится по тому же правилу, что и деление десятичных чисел. Как известно, при делении десятичных чисел делается вычитание из одного десятичного числа другого с использованием правила «заема» единиц в соседних, более старших разрядах.

Пример: 99: 11 = 9 1100011: 1011 = 1001

– 1011

0001011

– 1011

Преобразование целых чисел

 

Для преобразования целой части числа разделим левую и правую части полинома на основание q:

А_ц/q = a_n q^n-2 + a_n-1 q^n-3 +…a₂ q⁰ + a₁/q.

Выполняя последовательно операцию деления на q, получим новое целое число и остаток от деления с цифрой разряда a_n-1.

#₁ 100:8 = 12:8 =1; Ответ: 100 = 144₈.

4 4

#₂ 89:2 = 44:2 = 22:2 = 11:2 = 5:2 = 2:2 = 1:2; Ответ: 89:2 = 1011001

1 0 0 1 1 0 1

Для получения восьмеричного числа из двоичного числа нужно разбить его разряды на «триады»:

А = 010 011 101 011 = 2353₈.

 

2 3 5 3

Для получения двоично-восьмеричного кода нужно каждую цифру восьмеричного числа заменить трёхразрядным двоичным числом:

 

2353₈ = 2·8² + 3·8¹ + 5·8⁰ = 128 +24 + 1.

В шестнадцатеричных числах основание q = 16; алфавит включает числа 0÷9 и буквы A÷F (10÷15).

 

Получение шестнадцатеричных чисел из двоичных

 

A = 1101 1001 1110, 0001 0101 = D9E, 15₁₆.

 

D 9 E 1 5

Целую часть числа разбиваем на тетрады (четырех - разрядные числа), от запятой справа – налево, а дробную часть – тетрады, от запятой слева – направо. Полученные тетрады заменяем цифрами.