Бинарно-десятичные коды десятичных чисел

Бинарный код числа – код, использующий только два символа: 0 и 1.

Существуют следующие бинарные коды:

1) натуральный двоичный код (НДК) или иначе двоичные числа;

2) бинарные коды 8-ричных и 16-ричных чисел;

3) двоично-десятичный код (ДДК) чисел;

4) специальные бинарно-десятичные коды чисел.

 

Лекция №2

 

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Логическая функция может быть записана аналитически различными сочетаниями операций сложения и умножения переменных. Однако с точки зрения представления логической функции и последующего синтеза логической схемы наиболее удобны формы записи, при которых функция выражается либо в виде суммы произведений переменных, либо в виде произведения их сумм.

Запись логической функции в виде суммы произведений переменных называют дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ):

 

х + у z + х у z + х у z,

 

азапись функции в виде произведения сумм – конъюнктивой нормальной формой (КНФ):

 

х (х + у)(у + z) (х + у + z).

 

Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением, можно преобразовать к ДНФ или КНФ, пользуясь правилами алгебры логики. Для каждой логической функции может существовать несколько равносильных дизъюнктивных и конъюнктивных форм.

Вместе с тем имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом (совершенные н о р м а л ь н ы e формы). В совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) каждое входящее слагаемое включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых слагаемых. В совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) каждый входящий сомножитель включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых сомножителей.

Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется так называемой таблицей соответствия или истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. Таким образом, таблица истинности определяет алгоритм работы создаваемой цифровой схемы. От табличного представления функции переходят к аналитической записи ее в СДНФ или СКНФ.

Пусть в качестве примера функция F задана в виде таблицы. Для комбинаций переменных 2, 7, 8 функция F истинна (т. е. F = 1), что означает для указанных комбинаций равенство единице следующих произведений: х у z = 1, х у z = 1 и х у z = 1. Комбинации переменных, при которых функция истинна, называют конституентами единицы или минтермами. Представление логической функции в виде суммы минтермов определяет ее СДНФ, т. е. в данном случае

F = х у z + х у z + х у z.

 

 

Номер комбинации	x	y	z	F

 

Функция, определяемая таблицей истинности, может быть представлена не только ее единичными, но и нулевыми значениями. Так, на основании таблицы рассматриваемая функция ложна (F = 0 или F = 1), если истинно каждое из произведений

x у z, х у z, х у z, х у z, х у z, т. е.

F = x у z + х у z + х у z + х у z + х у z.

 

Воспользовавшись законом инверсии, приходим к записи функции в СКНФ:

F = (х + у + z)(х + у + z)(х + у + z)(x + у + z)(х + у + z).

Каждый сомножитель в соотношении состоит из суммы переменных, для которых функция обращается в нуль в соответствии с таблицей истинности. Такие суммы называют конституентами нуля или макстермами. Таким образом, произведение макстермов определяет СКНФ функции.

 

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

 

Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых систем служит алгебра логики (булева алгебра), которая изучает связь между переменными (сигналами), принимающими только два («0», «1») значения. Символы «0» и «1» в алгебре логики характеризуют состояния переменных или состояния их функций, в связи с чем эти символы нельзя рассматривать как арифметические числа. Алгебра логики является алгеброй состояний, а не алгеброй чисел, и для нее характерны основные действия, отличные от принятых в обычной алгебре действий над числами.