Косвенные измерения и их погрешности

Косвенные измерения предполагают наличие известной функциональной связи между искомой величиной y и независимыми аргументами, которые могут быть найдены прямыми измерениям

(8)

Очевидно, погрешность в оценке y зависит от погрешности при измерении аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы. Для независимых аргументов абсолютная погрешность Δy искомой величины близка к понятию полного дифференциала функции (8)

Запишем выражение для полного дифференциала функции y.

По определению полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малым приращением ее аргументов.

Учитывая, что погрешность измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргументов можно заменить дифференциалы аргументов на границы абсолютных погрешностей аргументов , а дифференциал dy на абсолютную погрешность результата измерений

(9)

В полученную формулу входят частные производные , которые могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Опыт показывает, что при увеличении источников погрешностей (аргументы функции х₁; х₂…х_n) результирующая погрешность, т.е. погрешность косвенного измерения, всегда увеличивается в связи с этим абсолютную погрешность косвенного измерения Δy определяют по формуле

=

(10)

По аналогичной формуле можно определить и среднеквадратичную погрешность косвенного измерения σ_у, поскольку ее размерность так же как и для абсолютной погрешности совпадает с размерностью измеряемой величины

=

(11)

Применяя формулу (9), получим несколько простых правил оценивания, т.е. нахождения приближенного значения погрешности косвенного измерения [2 c 53].

Правило1. Погрешности в суммах или разностях. Если измерены с погрешностями и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности , то при нахождении погрешности косвенного измерения суммируются абсолютные погрешности величин и без учёта их знака ,

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения используются для вычисления или то суммируются относительные погрешности , где .

Если нужно найти абсолютную погрешность , то она найдется по формуле

Правило 3. Измеренная величина умножается на постоянное число. Если x используется для вычисления произведения y=B x, в котором В не имеет погрешности, то Или для абсолютной погрешности .

Правило 4. Возведение в степень. Если x используется для вычисления степени , то Или для абсолютных погрешностей

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если x используется для вычисления функции y=f(x), то . Или для абсолютных погрешностей .

Вывод этих правил не приводится и может быть легко сделан самостоятельно. Использование правил позволяет получить оценку предельной погрешности косвенного измерения при числе аргументов n<5.

Пример. Производится косвенное измерение мощности рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I.Так как , то применяя правило 2 и 4, получим По определению . Тогда для абсолютной погрешностей косвенного измерения мощности получим Причем могут быть найдены по классам точности амперметра и омметра.