Раздел 3. 1 простые и сложные проценты

Теоретический материал

Для определения суммы после начисления простых процентов может быть использована следующая формула:

БС_n = НС(1+i_n / 100∙ n),

где n – время начисления процентов, годы.

 

Если время начисления процентов выражено в днях, то используют следующую формулу:

n=t / K,

где t - время, за которое начисляются проценты,

K – число календарных дней в году(360 или 365 дней).

 

Общая формула для определения суммы денег, которая будет накоплена в банке через n лет и может быть представлена следующей формулой:

БС_n = ∑ ВКЛ_k ∙[1+i_n / 100∙ (n-k)],

Если предположить, что все вклады равны, то можно использовать следующую формулу:

БС_n = ВКЛ∙[n + i_n / 100∙∑ (n-k)]

Если учитывать, что ∑ (n-k)=n ∙(n-1)/2, то получим

БС_n = ВКЛ∙ n [1+ i_n / 100∙ (n-1)/2].

 

Общая формула для определения суммы вкладов через n лет (на конец n-го года), число вкладов также равно n.

БС_n = ∑ ВКЛ_k ∙[1+i_n / 100∙ (n+1-k)],

Если предположить, что все вклады равны, то можно использовать следующую формулу:

БС_n = ВКЛ∙(n + i_n) / 100∙∑ n,

Если учитывать, что ∑ n=n ∙(n+1)/2, то получим

БС_n = ВКЛ∙ n [1 + i_n / 100∙ (n+1)/2].

 

Для определения суммы первоначального вклада используется следующая формула:

НС = ∑ ВКЛ_k ∙(1+i_n / 100∙k),

Если предположить, что все выплаты одинаковы, то можно использовать следующую формулу:

НС = ∑ ВКЛ ∙1 (1+i_n / 100∙k),

Для определения возвращаемой суммы, когда процентная ставка изменяется в течение срока:

 

БС_n = НС ∙(1+ ∑n_{t •} i _nt / 100),

где t – текущее число этапов, t = 1,2,3,….,m.

 

 

Будущая сумма денег БС_n, получаемая в конце срока вклада, может быть определена и при начислении сложных процентов.

БС_n = НС ∙(1+ i_с / 100)ⁿ,

где i_с - сложная процентная ставка.

 

Общая формула для определения БС_n при числе вкладов n:

БС_n =∑ ВКЛ_k ∙(1+ i_с / 100)^{n - k}

Если предположить, что все вклады одинаковы, то можно использовать следующую формулу:

БС_n =ВКЛ∙ ∑(1+ i_с / 100)^{n – k}.

Если учитывать, что

∑(1+ i_с / 100)^{n – k} = [ (1+ i_с / 100)ⁿ - 1] / ( i_с / 100), то получим

 

БС_n =ВКЛ∙[ (1+ i_с / 100)ⁿ - 1] / ( i_с / 100).

 

Допустим, что клиент делает вклады в начале каждого года. При этом число вкладов будет равно n. Для определения суммы которую будет иметь клиент через n лет. Для этого составим общую формулу:

БС_n =∑ ВКЛ_k ∙(1+ i_с / 100)^{n+1 – k}.

Если предположить, что все вклады одинаковы, то можно использовать следующую формулу:

БС_n =ВКЛ∙ ∑(1+ i_с / 100)^{n – k}.

Если учитывать, что

∑(1+ i_с / 100)^{n +1– k} = [ (1+ i_с / 100)ⁿ - 1] / ( i_с / 100)∙ (1+ i_с / 100), то получим

БС_n =ВКЛ∙[ (1+ i_с / 100)ⁿ - 1] / ( i_с / 100) ∙ (1+ i_с / 100).

 

Для определения первоначальной суммы вклада, который обеспечивает клиенту определенные ежегодные выплаты в течение n лет.

Составим общую формулу для начисления первоначальной суммы вклада:

НС = ∑ ВКЛ_k ∙(1+i_с/ 100)^k.

Если предположить, что все выплаты одинаковы, то можно использовать следующую формулу:

НС = ВКЛ∙∑ 1/(1 + i_с/ 100)^k.

Если учитывать, что

∑ 1/(1 + i_с/ 100)^k = 1/(i_с / 100) – 1/ (i_с/ 100)/ (1 + i_с/ 100)ⁿ, то получим

НС = ВКЛ∙[1/(i_с / 100) – 1/ (i_с/ 100)/ (1 + i_с/ 100)ⁿ].

 

При изменении величины процентной ставки в течения срока, возвращаемая сумма может быть определена по формуле:

БС_n = НС(1 + i_с1/ 100)ⁿ¹ ∙ (1 + i_с2/ 100)ⁿ² ∙ (1 + i_сm/ 100)^nm,

 

где n – срок ссуды; n= n₁+ n₂+…+ n_m;

 

Для начисления процентов за периоды менее одного года, например ежеквартально, ежемесячно и т.д. используется следующая формула:

БС_n = НС ∙(1 + i_с/ 100 /m)^n∙m,

где m – число начислений процентов в году.

Практический материал

Задача1. Клиент сделал вклад в банк в сумме 1000 у.е. под 50% годовых сроком на 10 лет. Определить какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 10 лет?

Задача2. Клиент сделал вклад в банк в сумме 1000 у.е. под 50% годовых сроком на 4 года учитывая, что все вклады одинаковы. Определить какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 4 года?

Задача3.Клиент делает вклады в начале каждого года по 1000 у.е. под 50% годовых сроком на 4 года. Определить какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 4 года?

Задача4.Клиенту делают ежегодные выплаты в размере 1000 у.е. в течение 4 лет с процентной ставкой 50%. Определить какая первоначальную сумма вклада?

Задача5.С учетом реальной экономической ситуации в стране банк выдал ссуды в сумме 200 млн. у.е. на один год на следующих условиях: за первые 90 дней ссудный процент составлял 25%; за следующие 90 дней – 30%; за следующие 90 дней – 35%; за последние 95 дней – 40%. Определите какую сумму, которую нужно вернуть банку?

Задача6.Банк выдал ссуды в сумме 200млн. у.е. За первый год использования ссуды проценты будут начисляться следующим образом: в первом полугодии – из расчета 30% годовых, во втором полугодии – из расчета 80%годовых.Во втором году первый квартал – 90%годовых, второй квартал – 100% годовых, третий квартал – 110% годовых, четвертый квартал – 120%.Определите какой доход получит банк?

Задача7. Клиент сделал депозитный вклад в банк в сумме 1000 у.е. под 50% годовых сроком на 5 лет. Какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 5 лет?

Задача8. Клиент сделал депозитный вклад в банк в сумме 1000 у.е. под 20% годовых сроком на 4 лет. Какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 4 лет?

Задача9. Банк выдал ссуды в сумме 150 млн. у.е. на один год на следующих условиях: за первые 90 дней ссудный процент составлял 20%; за следующие 90 дней – 325%; за следующие 90 дней – 30%; за последние 95 дней – 35%. Определите какую сумму, которую нужно вернуть банку?

Задача10.Банк должен взимать за выданную сроком на 5 лет ссуду в сумме 10 млн. у.е. 40% годовых по сложной процентной ставке. Однако, учитывая большой срок ссуды, банк, начиная со второго года, устанавливает маржу, которая возрастает за каждый последующий год на 5%. Требуется определить сумму, возвращаемую банку.

Задача11. Клиент сделал вклад в банк в сумме 1560 у.е. под 30% годовых сроком на 7 лет учитывая, что все вклады одинаковы. Определить какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 7 лет?

Задача12 В банке размещен вклад в размере 2 млн.руб. сроком на 3 года под 10% годовых. Рассчитайте будущую сумму в конце срока при начислении процентов по схеме простых процентов:1)ежегодно,2) каждые полгода?

Задача13. В банк помещен вклад в сумме 10 млн. у.е. под 100% годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции оценивается величиной 50% в год. Требуется найти реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пять лет.

Задача14. Клиент сделал депозитный вклад в банк в сумме 1700 у.е. под 25% годовых сроком на 6 лет. Какую сумму денег клиент будет иметь в банке через 6 лет?

Задача15.Банк выдал ссуды в сумме 260 млн. у.е. За первый год использования ссуды проценты будут начисляться следующим образом: в первом полугодии – из расчета 15% годовых, во втором полугодии – из расчета 20%годовых.Во втором году первый квартал – 30%годовых, второй квартал – 40% годовых, третий квартал – 50% годовых, четвертый квартал – 60%.Определите какой доход получит банк?

Задача16.В банк помещен вклад в сумме 60 млн. у.е. под 50% годовых сроком на 6 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции оценивается величиной 20% в год. Требуется найти реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пять лет.

Задача17.Клиенту получает ежегодные выплаты в размере 1070 у.е. в течение 5 лет с процентной ставкой 25%. Определить какая первоначальную сумма вклада?

Задача18. Предприятие получило кредит в размере 10 млн. руб. сроком на один год с условием возврата 15 млн. руб.Определите сложную и простую процентные ставки?

Задача19. В банке может быть размещено 10 тыс. руб.под 15% годовых по сложной процентной ставке. Предполагается эти деньги инвестировать в проект с условием их удвоение через 5 лет. Следует ли принять это предложение?

Задача20. Найти возвращаемую сумму, если взятая ссуда составляет 300 000руб., а срок ее погашения равен 1 году. Контрактом предусмотрена сложная процентная ставка в размере 60% годовых. Начисление процентов проводится ежеквартально?

Задача21. Банк выплачивает 15% годовых по ставке простых процентов. Каким должен быть первоначальный вклад, чтобы через каждый год в течение 3 лет получать по 1 млн. руб.?

Задача22. Банком выдан кредит в сумме 10 млн. у.е. сроком на 5 лет под годовую процентную ставку 50%, но при ежеквартальном начислении процентов. Требуется определить возвращаемую через 5 лет сумму.

Задача23. Каждые полгода вносится вклад по 15 000руб. при условии, что банк начисляет 8% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Требуется определить величину накопленной суммы через 10 лет?

Задача24.Делается ежегодный вклад в размере 30 000руб. при начислении 10% годовых ежегодно. Требуется определить величину накопленной суммы через 10 лет?

Задача25.Предприятию необходимо сформировать в течение 5 лет денежный фонд не менее 20 млн. руб.Процентная ставка банка, используемая в расчетах сложных процентов, составляет 30%. Требуется определить размер потребного взноса в начале каждого года.

Задача26.Клиент планирует разместить в банке 100 000 руб. сроком на два года под 30% годовых. Прогноз темпа роста инфляции составляет 20% в год. Требуется определить реальную сумму денег, которую клиент сможет иметь через два года, и реальную годовую ставку процента.

 

Раздел 3.2 ДИСКОНТИРОВАНИЕ

Под термином «дисконтирование» в экономической литературе понимается операция приведения стоимости будущей суммы денег к текущему моменту времени.

Существует два способа расчета дисконтирования.

Математическое дисконтирование – способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей величины суммы денег.

Банковское дисконтирование – способ, при котором используется учетная ставка.

Математическое дисконтирование в случае использования простых процентов производится по формуле:

НС=БС_n ∙[1/ (1+i/100∙n) ],

НС – первоначальная сумма,

БС – будущая сумма денег,

1/ (1+i/100∙n) – дисконтный множитель.

 

Доход банка определяется:

Д= БС_n - НС.

 

Математическое дисконтирование в случае использования сложной процентной ставке:

НС=БС_n ∙[1/ (1+i_с /100)ⁿ ],

 

где 1/ (1+i_с /100∙n)ⁿ - дисконтный множитель.

 

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула примет вид:

 

НС=БС_n ∙[1/ (1+i_с /100∙m)^n∙m ].

 

При использовании простой учетной ставки в расчетах операции дисконтирования настоящая сумма:

НС=БС_n ∙ (1- n ∙ i_ny /100),

где i_ny - простая учетная ставка;

n – время, отсчитываемое от момента получения суммы БС_n.

i_ny <100/ n%.

Сравнивая БС_n= НС(1+i_n /100∙n) и НС= БС_n(1- n ∙ i_ny /100), то получим

1+i_n /100∙n=1- n ∙ i_ny /100.

Из равенства найдем соотношения:

i_ny = 100 ∙ i_n / (100+ БС_n n∙ i_n);

i_n =100 ∙ i_ny/ (100- n∙ i_ny).

На практике может быть такая ситуация, когда происходит совмещение двух операций: по начислению простых процентов и дисконтированию по учетной ставке. Здесь сумма может быть определена следующей формулой:

БС_n - n^’ = НС∙(1+ n∙ i_n/100)∙(1- n^’ ∙ i_ny/100),

где n – срок ссуды;

n^’ – время от момента учета долгового обязательства до момента погашения долга (n^’< n).

 

Расчет срока ссуды при использовании простой учетной ставки осуществляется по формуле:

n=(1-НС/ БС_n)/(i_ny/100).

Переходя к размерности – по количеству дней t – получим

t=100∙K/ i_ny∙(1- НС/БС_t),

где K – количество календарных дней в году.

 

Для расчета величины простой учетной ставки применяется следующая формула:

i_ny = 100/ t∙(1 – НС/ БС_n).

 

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

НС= БС_n∙(1-i_cy /100)ⁿ,

где i_cy - сложная учетная ставка.

 

Дисконтирование, по сложной учетной ставке производящееся m раз в году вычисляется по формуле:

НС=БС_n(1-I /100 / m)^n∙m.

 

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:

i^эф=[1-(1-i /100 /m)^m]∙100.

 

Знание соотношений между эквивалентными ставками необходимо при сравнении условий финансовых операций или взаимной корректировке различных процентных ставок в случае изменения внешних условий.

Ранее выделялось четыре вида ставок: простая процентная ставка, сложная процентная ставка, простая учетная ставка, сложная учетная ставка.

Расчетные формулы для таких ставок имеют вид:

БСn=НС∙(1+ n∙ i_n/100);

БСn= НС∙∙(1+ i_c /100)ⁿ.

Условия эквивалентности записываются в следующем виде:

НС₁=НС₂; БС_n1=БС_n2; n₁=n₂;

При выполнения этих условий после несложных преобразований формул получим:

i_n=[(1+i_c /100)ⁿ - 1]/ n∙100;

i_c=[(1+n∙i_n /100)^{1/ n} - 1]∙100.

Формулы эквивалентности для этих ставок:

i_ny = 100∙i_n / (100 + n∙i_n);

_{in = 100∙ iny /(100 - n∙iny),}

_{где n =t /K, K= 360 дней или 365 дней.}

 

_{Простая учетная и сложная процентная ставки рассчитываются по формулам:}

_{НС = БСn∙(1 - n∙ iny /100);}

БСn = НС∙(1+ i_c /100)ⁿ.

При выполнении условий эквивалентности после несложных преобразований получим:

i_ny = [1-(1+i_c /100)^-n]∙100/n;

i_c =[1/(1 - i_ny∙n /100)^{1/ n} - 1]∙100.

Сложная учетная и сложная процентная ставки рассчитываются по формулам:

НС = БСn∙(1 - i_cy /100)ⁿ;

БСn = НС∙(1 + i_c /100)ⁿ.

При выполнении условий эквивалентности после несложных преобразований получим:

i_c = 100∙ i_cy /(100 - i_cy);

i_cy = 100∙ i_c /(100 - i_c).

Простая процентная и сложная учетная ставки рассчитываются по формулам:

НС = БСn∙(1 - i_cy / 100)ⁿ ;

БСn = НС∙(1+ n∙ i_n /100).

При выполнении условий эквивалентности после несложных преобразований получим:

i_n = [1-(1+ i_cy /100)^-n - 1]∙ 100/n;

i_cy = [1-(1+n∙ i_n /100)^-1/n ]∙ 100.

Простая учетная и сложная учетная ставки рассчитываются по формулам:

НС = БСn∙(1 - i_cy / 100)ⁿ ;

НС = БСn ∙(1+ n∙ i_ny /100).

При выполнении условий эквивалентности после несложных преобразований получим:

i_ny = [1-(1 - i_cy /100)ⁿ ]∙ 100/n;

i_cy = [1-(1 - n∙ i_ny /100)^1/n ]∙ 100.

 

Практический материал

Задача 1. Владелец векселя через год должен получить по нему 300 000 у.е. Какая сумма была внесена им в банк в момент приобретения векселя, если процентная ставка банка для расчета равна 50%?

Задача 2.. Владелец векселя, номинальная стоимость которого 200 000 у.е., а срок погашения через один год, обратился в банк за 90 дней до срока погашения векселя с просьбой о проведении операции его учета. Банк согласился учесть вексель по простой ставке 30%. Сколько денег получит владелец?

Задача 3. Владелец векселя, номинальная стоимость которого 500 000 у.е., а срок погашения через один год, обратился в банк за 90 дней до срока погашения векселя с просьбой о проведении операции его учета. Банк согласился учесть вексель по простой ставке 30%. Сколько денег получит владелец?

Задача 4.Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20% в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 млн.руб. через 10 лет. Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов – ежегодное и ежеквартальное.

Задача 5. Владелец векселя номинальной стоимостью 200 000 у.е. (сумма, которую он должен получить в конце срока действия векселя) и стодневным периодом его обращения решил учесть его в банке за 18 дней до истечения срока платежа по учетной ставке 20%. Требуется определить сумму, которую ему выдадут.

Задача 6. Фирма обратилась в банк за ссудой под вексель в сумме 200 000 у.е. сроком на 60 дней. Банк согласен выдать эту ссуду при начислении 80% по простой учетной ставке. Какова номинальная стоимость векселя?

Задача 7. Долговое обязательство на ссуду в сумме 400 000 у.е. предусматривает начисление процентов в размере 120% годовых. Срок погашения долгового обязательства через 90 дней. Владелец обязательства собирается учесть его в банке за 18 дней до наступления срока по простой учетной ставке 135%. Какую сумму получит владелец векселя?

Задача 8. Клиент вложил в банк сроком на один год 100 000 у.е. под 50% годовых. Сколько денег он получит через год с помощью формул для простой ставки и эквивалентной ей учетной ставки?

Задача 9. Фирме необходим кредит 500 000 у.е. Банк согласен выдать кредит при условии, что он будет возращен в сумме 600 000 у.е. Простая учетная ставка, которую использует банк, равна 210% На какой срок будет предоставлен кредит?

Задача 10.Контракт на получение ссуды в сумме 500 000 у.е. предусматривает возврат долга через 30 дней в сумме 600 000 у.е. Какова величина простой учетной ставки, которую использует данный банк?

Задача 11. Владелец векселя номинальной стоимостью 500 000 у.е. и периодом обращения 1,5 года предложил его сразу банку для учета, т.е. за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Задача 12. Владелец векселя номинальной стоимостью 500 000 у.е. и периодом обращения 1,5 года предложил его сразу банку для учета, т.е. за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по простой учетной ставке 20% годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Задача 13.Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 000 у.е. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Задача 14.Срок уплаты по векселю через 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка – при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке, равной 10%?

Задача 15. Операция учета векселя по ссуде по простой учетной ставке обеспечивает 12% доходности по простой ставке в расчете на год. Срок ссуды 55 дней. Временная база 360 дней. Требуется определить простую учетную ставку.

Задача 16. Кредит предоставлен из условия 6% годовых по ставке сложных процентов. Каковы будут эквивалентные ставки простых процентов при сроках кредита: а) 10 лет; б) 160 дней (К=365 дней)?

Задача 17.Контракт предусматривает начисление сложных процентов при ставке 8% годовых. Срок ссуды два года, проценты начисляются поквартально. Требуется рассчитать простую процентную ставку, эквивалентную этим условиям.

Задача 18.Срок оплаты векселя через 120 дней, К=365 дней. Какова будет доходность, выраженная по сложной процентной ставке, от учета векселя по простой учетной ставке 8%?

Задача 19. Контракт по ссуде предусматривает ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 14% годовых. Срок ссуды – 2 года. Требуется определить эквивалентную этим условиям ставку простых процентов.

Задача 20. Обязательство уплатить через 150 дней взятую сумму 150 000 руб. с условием начисления простых процентов по ставке 9% годовых было учтено в банке за 100 дней до наступления срока по простой учетной ставке 14%. Требуется определить полученную владельцем обязательства сумму при учете долгового обязательства и величину дисконта банка.

Задача 21. Какова будет доходность, измеренная в виде простых процентов, учета векселя по сложной учетной ставке, равной 15%? Срок уплаты по векселю по через 200 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 360 дней, сложная учетная ставка – 365 дней.

Задача 22.. Владелец векселя, номинальная стоимость которого 500 000 у.е., а срок погашения через один год, обратился в банк за 90 дней до срока погашения векселя с просьбой о проведении операции его учета. Банк согласился учесть вексель по простой ставке 20%. Сколько денег получит владелец?

Задача 23. Долговое обязательство номинальной стоимостью 1 500 000 у.е. должно быть погашено через три года. Сложная учетная ставка равна 30% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Задача 24. Операция учета векселя по ссуде по простой учетной ставке обеспечивает 15% доходности по простой ставке в расчете на год. Срок возврата ссуды 100 дней. Временная база 365 дней. Требуется определить простую учетную ставку.

Задача 25. Владелец векселя номинальной стоимостью 40 000 у.е. (сумма, которую он должен получить в конце срока действия векселя) и стодневным периодом его обращения решил учесть его в банке за 18 дней до истечения срока платежа по учетной ставке 30%. Требуется определить сумму, которую ему выдадут.

Задача 26. Операция учета векселя по ссуде по простой учетной ставке обеспечивает 15% доходности по простой ставке в расчете на год. Срок ссуды 50 дней. Временная база 360 дней. Требуется определить простую учетную ставку.

 

Раздел 3.3 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

На практике может быть несколько вариантов изменения условий проведения платежей:

- объединение нескольких платежей в один или меньшее число платежей;

- изменение сроков платежей;

- разъединение одного платежа на несколько платежей.

При использовании этих вариантов должен соблюдаться принцип эквивалентности, т.е.финансовые последствия до и после изменения условий должны быть равноценными. Принцип финансовой эквивалентности лежит в основе приведенных далее расчетных формул.

Рассмотрим вначале ситуацию, когда новый срок платежа будет равен или превышать прежние сроки. Тогда новая сумма платежа может быть определена по формуле:

S₀ =S_j ∙ (1+ n_j ∙ i_n)/100,

где S₀ – сумма нового платежа;

S_j – суммы прежних платежей;

j – текущее число прежних платежей (параметр суммирования), j=1,2,3,…, r,

r – количество прежних платежей;

– согласованная между заинтересованными сторонами простая ставка;

n_j – разность между новым и прежними сроками платежей.

Разность между новыми и прежними сроками платежей:

n_j = n₀ – n_j = (t₀ - t_j)/ K,

где n₀ – новый срок платежа;

n_j – прежний срок j-го платежа;

t₀ – новый срок платежа, в днях;

t_j – прежний срок платежа, в днях.

Если нового платежа n₀ не менее n_j сроков платежей, но и не более n_k сроков платежей (лежит внутри сроков прежних платежей n_j < n₀ < n_k), то сумма нового платежа может быть

S₀ = ∑ S_j ∙ (1+ n_j∙ i_n/ 100)+ ∑ S_к∙ (1+ n_k∙ i_n / 100)^-1,

где n_j (t₀ - t_j)/ К, n_k = (t_к - t₀)/К.

 

Используя тот же подход, рассмотрим два варианта изменения сроков платежей.

Первый вариант. Если n₀≥ n_j (j=1,2,3,…, r), т.е. срок нового платежа наступит не раньше сроков всех прежних платежей, то расчетная формула для оценки суммы нового платежа будет

S₀ =∑ S_j ∙ (1+ n_j∙ i_ny / 100)^-1.

Вариант второй.. Если n_j ≤ n₀ ≤ n_k, т.е. срок нового платежа находится где-то внутри интервала, определяемого сроками прежних платежей, то расчетная формула такова:

S₀=∑ S_j∙ (1 – n_j ∙ i_ny / 100)^-1 +∑S_k∙(1 - n_k∙i_ny / 100),

где n_i =(t₀-t_j)/K, n_k=(t_k – t₀)/K.

Для определение новых сроков платежей также используются два варианта.

В первом варианте принимается, что сумма нового платежа равна сумме прежних платежей, т.е.

S₀=∑ S₀=∑ S_j∙

Срок нового платежа может быть найден по приближенной формуле:

t₀=∑t_j∙S_j / ∑ S_j.

Во втором варианте величина суммы нового платежа S₀ может быть заранее обусловлена. Здесь срок нового платежа предлагается определять по формуле:

t₀=100∙ K /i_n∙(S₀ /A - 1),

где A – сумма всех платежей, приведенных на принятую базовую дату.

 

Практический материал

Задача 1.Два платежа S₁ = 250 000 у.е. и S₂ = 150 000 у.е. со сроками соответственно через 100 и 200 дней (отсчитываемых от одной даты) заменяются одним платежом со сроком через 220 дней. Заинтересованные стороны согласились на 6% годовых по простой ставке. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 2.Применяя простые проценты, объединим три платежа 15 000 у.е., 20 000 у.е. и 30 000 у.е. со сроками соответственно 20 сентября, 20 октября и 20 ноября. Согласованная процентная ставка равна 12%. Срок нового платежа 1 ноября. Какова сумма нового платежа?

Задача 3.Два векселя: один номинальной стоимостью 25 000 у.е. и сроком погашения 10 июня; другой номинальной стоимостью 30 000 у.е. со сроком погашения 1 августа заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении векселей применена простая учетная ставка, равная 16% годовых. Какова сумма нового платежа?

Задача 4. Принято решение объединить три платежа стоимостью 1 000 у.е., 2 000 у.е. и 4 000 у.е., срок уплаты которых наступит соответственно через 135, 166 и 227 дней от настоящего момента времени. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 10%. Требуется определить срок нового платежа, сумма которого равна сумме всех прежних платежей, т.е. S₀= 1 000+ 2 000+4 000= 7 000 у.е.

Задача 5. Два векселя: один номинальной стоимостью 20 000 у.е. и сроком погашения 10 июня; другой номинальной стоимостью 50 000 у.е. со сроком погашения 1 августа заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении векселей применена простая учетная ставка, равная 8% годовых. Какова сумма нового платежа?

Задача 6.Есть два обязательства уплатить сумму 50 000 у.е. 1 октября старого года и 60 000 у.е. – 1 января нового года. Данные обязательства заменяются новыми условиями: первый взнос 70 000 у.е. должник уплачивает 1 февраля нового года, остальной долг – 1 апреля нового года. Требуется рассчитать сумму нового платежа 1 апреля при условии использования простой ставки 6% годовых.

Задача 7.Имеются долговые обязательства уплаты 10 000 у.е. 1 ноября и 5 000 у.е. 1 января нового года. Эти обязательства предлагается заменить новыми: должник уплачивает 1 декабря сумму 6000 у.е., остальной долг он должен погасить 1 марта нового года. Сумма нового платежа определяется из условия, что простая процентная ставка будет равна 6% годовых. Требуется найти сумму нового платежа 1 марта.

Задача 8.Принято решение объединить три платежа стоимостью 20 000 у.е., 35 000 у.е. и 47 000 у.е., срок уплаты которых наступит соответственно через 150, 170 и 240 дней, отчитываемых от одной даты. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 10%. Требуется определить срок нового платежа, если обусловленная сумма равна 120 000у.е.

Задача 9.Два долговых обязательства: 300 000у.е. со сроком погашения 10 июня и 500 000у.е. со сроком погашения 1 августа заменяются одним платежом с продлением срока до 1 ноября. При объединении долговых обязательств применима простая учетная ставка 10% годовых. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 10.Два платежа 200 000 у.е. и 100 000 у.е. со сроками соответственно через 100 дней и 250 дней (отсчитываемых от одной даты) заменяются одним платежом со сроком 300 дней. Стороны согласились на 8% годовых по простой ставке. Определить сумму нового платежа.

Задача 11. Два векселя с номинальной стоимостью 10 000 у.е. и 70 000 у.е. со сроками погашения 20 июня и 10 августа заменяются одним с продлением срока погашения до 20 октября. При объединении векселей применена простая учетная ставка, равная 10% годовых. Какова сумма нового платежа?

Задача 12.Два платежа S₁ = 25 000 у.е. и S₂ = 15 000 у.е. со сроками соответственно через 100 и 200 дней (отсчитываемых от одной даты) заменяются одним платежом со сроком через 220 дней. Заинтересованные стороны согласились на 8% годовых по простой ставке. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 13.Применяя простые проценты, объединим три платежа 10 000 у.е., 20 000 у.е. и 15 000 у.е. со сроками соответственно 15 мая, 15 июня и 15 августа. Согласованная процентная ставка равна 8%. Срок нового платежа 1 августа. Какова сумма нового платежа?

Задача 14. Принято решение объединить два платежа стоимостью 15 000 у.е., 25 000 у.е.., срок уплаты которых наступит соответственно через 135 и 166 от настоящего момента времени. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 15%. Требуется определить срок нового платежа, сумма которого равна сумме двух прежних платежей.

Задача 15.Имеются долговые обязательства уплаты 15 000 у.е. 1 ноября и 10 000 у.е. 1 января нового года. Эти обязательства предлагается заменить новыми: должник уплачивает 1 декабря сумму 3000 у.е., остальной долг он должен погасить 1 марта нового года. Сумма нового платежа определяется из условия, что простая процентная ставка будет равна 15% годовых. Требуется найти сумму нового платежа 1 марта.

Задача 16. Два долговых обязательства: 250 000 у.е. со сроком погашения 15 сентября и 500 000 у.е. со сроком погашения 15 октября заменяются одним платежом с продлением срока до 1декабря. При объединении долговых обязательств применима простая учетная ставка 12% годовых. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 17.Применяя простые проценты, объединим три платежа 100 000 у.е., 200 000 у.е. и 300 000 у.е. со сроками соответственно 1марта, 1 апреля и 1 мая. Согласованная процентная ставка равна 15%. Срок нового платежа 1 мая. Какова сумма нового платежа?

Задача 18.Имеются долговые обязательства уплаты 12 000 у.е. 1 ноября и 16 000 у.е. 1 января нового года. Эти обязательства предлагается заменить новыми: должник уплачивает 1 декабря сумму 5000 у.е., остальной долг он должен погасить 1 марта нового года. Сумма нового платежа определяется из условия, что простая процентная ставка будет равна 10% годовых. Требуется найти сумму нового платежа 1 марта.

Задача 19.Принято решение объединить три платежа стоимостью 18 000 у.е., 32 000 у.е. и 56 000 у.е., срок уплаты которых наступит соответственно через 150, 170 и 240 дней, отчитываемых от одной даты. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 8%. Требуется определить срок нового платежа, если обусловленная сумма равна 150 000у.е.

Задача 20.Два долговых обязательства: 150 000у.е. со сроком погашения 1 июля и 250 000у.е. со сроком погашения 1 сентября заменяются одним платежом с продлением срока до 1 ноября. При объединении долговых обязательств применима простая учетная ставка 15% годовых. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 21. Два векселя: один номинальной стоимостью 12 000 у.е. и сроком погашения 10 мая; другой номинальной стоимостью 22 000 у.е. со сроком погашения 10 августа заменяются одним с продлением срока погашения до 1 сентября. При объединении векселей применена простая учетная ставка, равная 16% годовых. Какова сумма нового платежа?

Задача 22. Принято решение объединить три платежа стоимостью 10 000 у.е., 20 000 у.е. и 15 000 у.е., срок уплаты которых наступит соответственно через 135, 166 и 227 дней от настоящего момента времени. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 8%. Требуется определить срок нового платежа, сумма которого равна сумме всех прежних платежей, т.е. S₀= 10 000+ 20 000+15 000= 45 000 у.е.

Задача 23.Два долговых обязательства: 45 000у.е. со сроком погашения 10 июля и 50 000у.е. со сроком погашения 1 августа заменяются одним платежом с продлением срока до 1 ноября. При объединении долговых обязательств применима простая учетная ставка 18% годовых. Требуется определить сумму нового платежа.

Задача 14.Имеются долговые обязательства уплаты 12 000 у.е. 1 ноября и 16 000 у.е. 1 января нового года. Эти обязательства предлагается заменить новыми: должник уплачивает 1 декабря сумму 5000 у.е., остальной долг он должен погасить 1 марта нового года. Сумма нового платежа определяется из условия, что простая процентная ставка будет равна 10% годовых. Требуется найти сумму нового платежа 1 марта.

Задача 15.Принято решение объединить три платежа стоимостью 18 000 у.е., 32 000 у.е. и 56 000 у.е., срок уплаты которых наступит соответственно через 150, 170 и 240 дней, отчитываемых от одной даты. При объединении используется простая процентная ставка i_n = 8%. Требуется определить срок нового платежа, если обусловленная сумма равна 150 000у.е.

 

 

[*] Из каждого раздела(3.1, 3.2, 3.3) необходимо решить по одной задаче, указанной в номере варианта