Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2019-05-27 | 745 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассматриваемые в этом пункте теоремы о среднем значении называют еще основными теоремами о дифференцируемых функциях.
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в точке 𝑥0 локальный максимум, если существует -окрестность этой точки (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) такая, что ∀𝑥 ∈ (𝑥0−𝛿;𝑥+𝛿): 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0).
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в точке 𝑥0 локальный минимум, если существует -окрестность - (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) такая, что ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿): 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0).
Определение. Локальные максимумы и локальные минимумы функции называются локальными экстремумами.
Локальными называются свойства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или другой точки.
Теорема 11.2 (теорема Ферма-1601-1665 французский математик). Пусть функция 𝑓(x) определена на интервале (𝑎; 𝑏) и в некоторой точке 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке 𝑥0 существует производная, то она равна нулю, т.е. 𝑓′(𝑥0) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) функция имеет локальный минимум или максимум, то касательная в этой точке к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси 𝑂𝑥, т.е. угол наклона касательной к оси 𝑂𝑥 равен нулю, и 𝑓′(𝑥0) = tg 0 = 0.
Доказательство. По условию теоремы в точке x = 𝑥0 существует производная, но тогда можно записать, что . Если и точка – точка максимума, то и, следовательно, из равенства для приращения функции вытекает, что производная . Если же , то, в рассматриваемом случае, опять . Поэтому . Из полученных соотношений для производной вытекает, что единственная возможность для производной быть равной нулю .
|
Теорема 11.3 (теорема Ролля -1652-1719 французский математик). Пусть функция 𝑓 непрерывна на отрезке [𝑎;𝑏], дифференцируема на интервале (𝑎; 𝑏) и на концах отрезка [𝑎; 𝑏] принимает равные значения, 𝑓(𝑎) =𝑓 (𝑏). Тогда существует точка 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏), в которой 𝑓′(𝑐) = 0.
Геометрически теорема Ролля означает, что графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси . |
Доказательство. Так как заданная функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Предположим сначала, что это происходит на концах отрезка, то есть f (a)= m = min f (x) и f (b)= M = max f (x). В такой ситуации из условий теоремы вытекает, что m = M, а это возможно только, когда функция постоянна и, следовательно, 𝑓′(𝑐) = 0, Пусть теперь наибольшее или наименьшее значение достигается внутри интервала, но тогда по теореме Ферма существует , в которой 𝑓′(𝑐) = 0 ч.т.д.
Замечание к теореме Ролля. В условиях теоремы все три условия обязательны. Рассмотрим ряд примеров.
А). . Нарушено первое условие теоремы Ролля. .
Б). . Нарушено второе условие теоремы Ролля. для .
С). . Нарушено третье условие теоремы Ролля. .
Теорема 11.4. (Лагранжа -1736-1813 французский математик). Пусть на отрезке определена функция , причем:
1) непрерывна на .
2) дифференцируема на .
Тогда существует точка такая, что справедлива формула .
Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа. Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а - угловой коэффициент касательной к графику в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует такая точка , что касательная к графику в точке параллельна секущей . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
|
Замечание к теореме Лагранжа. Равенство (3)
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию вида
.
Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а значит, найдется точка такая, что . Находим
и следовательно, . Из последнего соотношения непосредственно следуют формулы (2) и (3). Теорема доказана.
Следствие 1 из теоремы Лагранжа. Для того чтобы непрерывная функция была постоянной на отрезке [ a, b ], необходимо и достаточно равенства нулю ее производной в каждой точке интервала (a, b).
Доказательство. Необходимость. Пусть в каждой точке отрезка [ a, b ], тогда из определения производной получаем, что .
Достаточность. Пусть теперь . Предположим, что на (a, b), тогда такие, что . Но по теореме Лагранжа можно записать . Отсюда получаем , так как по условию . Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.
Следствие 2 из теоремы Лагранжа. Если функция дифференцируема на интервале (а,в) и на этом интервале, то она возрастает (убывает).
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся точки такие, что . Но по теореме Лагранжа из (3), находим
,
Следовательно . Полученное противоречие и доказывает возрастание (убывание) функции .
Теорема 11.5 (Коши- 1789-1857 французский математик). Пусть функция и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть . Тогда существует точка такая, что справедлива формула
Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию вида
. Заметим, что , так как в противном случае функция удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и тогда, нашлась бы точка , в которой , что противоречит условию теоремы. Таким образом, функция определена на [ a, b ] и удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому
. Последнее равенство и доказывает справедливость формулы (4). Теорема доказана.
Теорема 11.6. (Лопиталя 1661 – 1704 французский математик). Пусть функции и дифференцируемы во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и во всех точках этой окрестности. Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует , причем
|
Доказательство. Доопределим функции и в точке , положив . Рассмотрим отрезок . Заданные функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому
.
Переходя в последнем равенстве к пределу при и учитывая, что при этом , получаем требуемое выражение. Если , то зафиксируем точку из окрестности точки . Пусть . Рассмотрим отрезок . В этом отрезке функции и удовлетворяют теореме Коши. Поэтому
. Перепишем это равенство в следующем виде
.
Переходя к пределу при и учитывая, что при этом , получаем опять равенство необходимое равенство. Теорема доказана.
Эта теорема дает правило для раскрытия неопределенности вида , сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.
11.7. Формула Тейлора (Английский математик, 1685-1731 гг.)
Пусть функция определена и (n +1) раз дифференцируема в окрестности некоторой точки a. Составим выражение
.
Обозначим . Тогда можно записать
Формула (10) называется формулой Тейлора, а функция - остаточным членом в формуле Тейлора.
Используя теорему Коши нетрудно получить выражение для остаточного члена. Действительно, рассмотрим функции и . Очевидно, что
и
Применяя (n+1) раз теорему Коши на отрезке [ a, x ] для функций и , находим
или
Выражение для принято называть остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Формула Тейлора широко применяется для обоснования различных положений при исследовании функций.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!