Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2019-05-27 | 266 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Числовая последовательность.
Определение. Пусть N —множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу по определенному правилу поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена числовая последовательность. Числа при 𝑛 ∈ N, называют элементами, или членами последовательности. Для числовой последовательности будем так же использовать следующие обозначения: или { }; .
Пример. Последовательности уже встречались в программе по математики в средней школе, например, бесконечная геометрическая прогрессия вида:
, является числовой последовательностью. Числовой последовательностью является и арифметическая прогрессия: , , – заданные числа из R.
Определение. Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { } и { } (для частного , ).
Определение. Последовательность { } называется ограниченной, если существует такое число 𝑀>0, что для любого 𝑛 ∈ N выполняется неравенство .
Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. -окрестностью точки 𝑥 = 𝑎 называется интервал (𝑎 − 𝜀; 𝑎 + 𝜀).
Геометрической смысл ограниченной последовательности состоит в том, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (𝑀-окрестности) точки 𝑥 = 0 (рисунок 3.1).
__ - M _____ _______________ ___ 0 ______ __________ _______ M _
Рис.3.1
Определение. Последовательность { } называется неограниченной, если она не является ограниченной. Это значит что для любого 𝑀>0, каким бы большим оно ни было, найдется такое число 𝑛 ∈ N, для которого будет | | > 𝑀. На языке кванторов это определение будет выглядеть следующим образом: ∀𝑀 > 0 ∃ 𝑛 ∈ N: | | > 𝑀.
|
Например:
а) последовательность
ограничена, так как ∀ 𝑛 ∈ N верно, что | | =1/ n и, следовательно, .
б) последовательность . является неограниченной, так как, каково бы ни было число 𝑀 > 0, ∃ = такое, что >𝑀.
Определение. Последовательность называется постоянной, если ∃ 𝑎 ∈ R, что ∀ 𝑛 ∈ N = 𝑎, то есть все элементы последовательности равны некоторому числу 𝑎.
Например, последовательность 1, 1,..., 1,... является постоянной. Здесь ∀ 𝑛 ∈ N имеет место равенство = 1.
Предел последовательности
Изучение предела последовательности — основного понятия этого параграфа, начнем с наводящего примера. Рассмотрим последовательность ; или . Из последнего выражения видно, что с увеличением n числа приближаются к значению a =1. Действительно, оценим степень близости элемента к 1: и с увеличением n расстояние между элементами последовательности и числом 1 неограниченно сокращается. В таком случае говорят, что число 1 является пределом последовательности { }.
Получив, на конкретном примере, представление о сути предельного перехода, мы готовы перейти к математически строгому определению предела.
Определение. Число 𝑎 называется пределом последовательности { }, если для всякого числа 𝜀 > 0, сколь малым оно бы ни было, существует номер ∈ N такой, что для всех 𝑛 > имеет место неравенство | −𝑎|<𝜀. На языке кванторов это выглядит так: ∀ 𝜀 > 0 ∃ ∈ N: ∀ 𝑛 > | −𝑎|<𝜀.
Для обозначения предела используется выражение .
Пример. Пусть дана последовательность . Доказать, что пределом последовательности является число a =1/2, используя определение предела.
Решение. Рассмотрим величину Возьмем произвольное 𝜀 > 0 и запишем неравенство . Решая это неравенство, находим . Обозначим +1, тогда при будет выполняться неравенство ч.т.д.
|
Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. В противном случае – расходится.
Бесконечно малые последовательности.
Если последовательность сходится и ее предел равен 0, то она называется бесконечно малой. Пользуясь определением предела, можно дать определение бесконечно малой последовательности на языке 𝜀.
Определение. Последовательность называется бесконечно малой если ∀ 𝜀 > 0 ∃ ∈ N: ∀ 𝑛 > | |<𝜀.
Свойства бесконечно малых последовательностей (БМП):
1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть БМП. [Доказательство]
2. Бесконечно малая последовательность является ограниченной. [Доказательство]
3. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности есть БМП. [Доказательство]
4. Произведение нескольких БМП есть БМП. [Доказательство]
5. Если БМП { } имеет постоянное значение 𝑎, т.е. ∀ 𝑛 ∈ N верно, что , то 𝑎 = 0. [Доказательство]
Бесконечно большие последовательности (ББП).
Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа А>0, каким бы большим оно ни было, найдется такой номер , что при выполняется неравенство . При этом пишут .
Если окажется, что при любом А>0 такой, что при , то пишут
Свойства бесконечно больших последовательностей.
1. ББП—неограниченная последовательность.
2. Произведение двух ББП есть ББП.
3. Сумма ББП и ограниченной последовательности есть ББП.
4. ББП не может являться постоянной последовательностью.
Замечание. Сумма двух ББП не обязательно является ББП. Например, последовательности и бесконечно большие. Однако, сумма + =0 бесконечно большой не является.
Последовательности БМП и ББП связаны между собой. На это указывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.1. Если { } есть ББП и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {1/ } есть БМП; и обратно, если { }—БМП, все члены которой отличны от нуля, то {1/ }—ББП.
Доказательство. Пусть { } есть ББП. Это значит, что для любого A >0 в том числе и для A =1/𝜀 такой, что при выполняется неравенство . Из этого неравенства сразу следует, что ч.т.д. Обратное утверждение доказывается аналогично.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!