Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2019-05-27 | 303 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Число b называется пределом функции f (x) на бесконечности, если для любого числа существует такое число N ( )>0, что , как только . В этом случае пишут .
Если в данном определении условие заменить на , то говорят, что b есть предел функции f (x) на плюс бесконечности (на минус бесконечности) и пишут: .
Следует отметить, что понятия БМФ и ББФ сохраняются и в этих случаях с поправкой на то, что аргумент функции становится бесконечно большим по абсолютной величине.
Примеры:
7.1. Не существует.
7.2. .
7.3.
В примере 7.3 при вычислении предела возникает ситуация вида , которая называется неопределенностью. Для устранения подобной ситуации следует числитель и знаменатель умножить на множитель, позволяющий свернуть числитель в разность определенных выражений.
7.4. Доказать, используя определение предела, что .
Доказательство. Возьмем произвольно число и рассмотрим абсолютную величину выражения . Из последнего неравенства находим: . Итак, если обозначить , то при будет выполняться неравенство , а это значит, согласно определению предела, число 3 является пределом заданной функции.
Асимптоты. Определение. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y= f (x) при , если ; иными словами, если отклонение графика функции y= f (x) от прямой y = kx + b неограниченно уменьшается при . Аналогично можно определить асимптоту при .
Из данного определения вытекает, что если , то y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x). В том случае, когда , график функции не имеет горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту y = kx + b, где . Так как в этом случае , то тем более или . Поэтому . Далее из равенства вытекает, что .
|
Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм поиска асимптот графика функции y = f (x):
1. Вычисляется . Если этот предел существует и равен b, то y = b – горизонтальная асимптота; если , то нужно перейти к следующему шагу.
2. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен k, то следует перейти к следующему шагу.
3. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4. Записать уравнение наклонной асимптоты y = kx + b.
Пример 7.5. Найти асимптоты графика функции .
1. ;
2. . Значит k =1/2;
3. , следовательно, b =-3;
4. y=0.5x-3.
Теорема 7.1. Для того чтобы число b было пределом функции f(x) при необходимо и достаточно чтобы эта функция была представима в виде , где -БМФ при .
Доказательство. Пусть b является пределом функции f (x) при . Тогда для любого такое, что . Но , поэтому и следовательно – БМФ при
Достаточность. Обратно, пусть теперь имеет место равенство , где -БМФ при . Но тогда из определения БМФ следует, что b есть предел заданной функции при .
Теорема 7.2. Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке а пределы А и В соответственно. Тогда функции имеют в точке a пределы равные соответственно.
Доказательство. Пусть {xn} произвольная последовательность, сходящаяся к а. Тогда по определению предела функции по Гейне последовательности сходятся к A и B соответственно. Используя соответствующие теоремы о сходимости последовательностей заключаем об истинности утверждения данной теоремы.
Теорема 7.3. (Теорема о зажатой функции). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и функции имеют, в точке а, предел равный A. Пусть, кроме того, выполняется неравенство в некоторой окрестности точки а. Тогда .
Доказательство. Доказательство основывается на определении предела по Гейне и на теореме о зажатой последовательности.
Замечание. Эти теоремы остаются верными и для случаев, когда
|
Теорема 7.1 обычно используется при доказательстве существования предела если можно предсказать чему равен этот предел, а теорема 7.2 применяется когда необходимо вычислить предел сложных функций. Рассмотрим полезные примеры применения теоремы 7.3.
Пример 7.6. Первый замечательный предел .
Докажем, что этот предел действительно равен 1. Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса. В первой четверти выделим дугу AM, соответствующую центральному углу x (0< x < Pi /2). Из точки М опустим перпендикуляр на радиус ОА. Обозначим буквой К полученную точку на радиусе ОА. Из точки А проведем перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения с прямой, полученной продолжением радиуса ОМ. Точку пересечения обозначим буквой N. Пусть – площадь треугольника OAM, – площадь сектора OAM и – площадь треугольника OAN. Очевидно неравенство . Вычисляя указанные площади и подставляя полученные значения в неравенство, находим
.
Поделим это неравенство на , так как В результате получаем . Используя теорему 7.3, находим .
Из последнего соотношения и теоремы 7.2 получаем . Найдем теперь левый предел, то есть (Так как функция четная). Так как предел справа и слева существуют и равны, то по теореме 6.2 ч.т.д.
Замечание. При доказательстве предполагалось, что .
Пример 7.7. Второй замечательный предел .
Доказательство. Пусть x >1. По принципу Архимеда существует такое натуральное n, что выполняется неравенство n < x < n +1. Поэтому можно записать 1+1/(n +1)<1+1/ x <1+1/ n. Учитывая это неравенство, нетрудно получить
.
Очевидно, что поэтому (Теорема 7.3).
Рассмотрим теперь Объединяя оба случая, окончательно имеем ч.т.д.
Лекция 8.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!