Надежность восстанавливаемой одноэлементной системы

При анализе используем ряд наиболее часто вводимых допущений.

1. Поток отказов в системе простейший, то есть выполняются требования ординарности, стационарности и отсутствия последствия ( =  = const), см. 2.1.5.

2. Поток восстановлений простейший, то есть , см. 2.3.2.

3. Восстановление происходит путем ремонта или замены с последующей настройкой и проверкой работоспособности или исправности системы за одно и то же время .

Расчетная схема надежности восстанавливаемой одноэлементной системы представлена на рис. 7.1.

Данная система с интенсивностью  стремится принять состояние отказа, а с интенсивностью  - перейти в работоспособное состояние.

В табл. 7.1 даны заводские параметры  и  для силовой высоковольтной аппаратуры.

Таблица 7.1
Параметры  и  для некоторых высоковольтных устройств

Устройство (элемент)	Параметр потока отказов , 1/год	Среднее время восстанов-ления , ч	Интенсив-ность восстановления , 1/ч.
Трансформатор силовой, U1н = 110 кВ	0,015	100
Выключатель масляный, U1н = 110 кВ	0,02	20
Выключатель масляный, Uн = 35 кВ	0,015	10
Разъединитель, Uн = 35...220 кВ	0,01	2
Отделитель, Uн = 110-220 кВ	0,03	10
Короткозамыкатель, Uн = 110-220 кВ	0,02	10

 

Обозначим устойчивые состояния системы индексами:

1 - отказ, то есть система находится в состоянии восстановления с интенсивностью восстановления  = const;

0 - работоспособное состояние с параметром потока отказов
 = const,  =.

Для анализируемой системы с учетом принятых допущений возможны четыре вида перехода из состояния в момент времени t в состояние в момент времени (t +  t):

 

 

Указанные переходы можно представить в виде графа перехода состояний системы с восстановлением (рис. 7.2).

 

 

Графу перехода состояний [13] соответствует матрица переходных вероятностей 2 х 2:

(7.1)

Диагональные элементы этой матрицы соответственно определятся как вероятность безотказной работы на отрезке t:

и вероятность продолжения восстановления системы на отрезке t:

.

Воспользуемся формулой разложения функции в ряд [11]:

.

В высоконадежных элементах < 1/ч, тогда при разложении в ряд функции Р₀₀( t), сохраняя высокую точность расчета можно ограничиться только двумя первыми членами ряда. Пусть = 1/час, t = 1 час, тогда

.

Таким образом, запишем

.

Соответственно

.

Из свойств матрицы следует, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице, как сумма вероятностей появления несовместимых составляющих полную группу событий [13], откуда следует:

Р₀₀( t) + Р₀₁( t) = 1; Р₀₁ = 1 - Р₀₀( t) =   t + 0( t);

Р₁₁( t) + Р₁₀( t) = 1; Р₁₀ = 1 - Р₁₁( t) =   t + 0( t).

Для составления уравнений вероятностей состояний системы следует записать формулу полной вероятности для каждого столбца матрицы [11, 13, 21]:

- для первого столбца;

- для второго столбца,

где P₀(t) - вероятность нахождения системы в нулевом (работоспособном) состоянии в момент времени t; P₁(t) - вероятность нахождения системы в состоянии "1" (отказа) в момент времени t.

Используем запись производной функции f(x):

и по аналогии с этим выражением для нашего случая запишем:

В эти выражения подставим раскрытые формулы полных вероятностей и , произведем соответствующие преобразования и получим систему двух дифференциальных уравнений относительно вероятностей пребывания системы в состояниях "0" и "1":

(7.2)

При начальных условиях Р₀(t = 0) = 1; Р₁(t = 0) = 0, в начальный момент времени (t = 0) восстанавливаемая система работоспособна - находится в состоянии "0". Решение дифференциальных уравнений дает

. (7.3)

Вероятность работоспособного состояния системы в момент времени t представляет собой функцию готовности G(t). Функция готовности - это вероятность работоспособного состояния восстанавливаемой системы в определенный момент времени t. Этот показатель является комплексным показателем надежности, оценивающим два свойства системы - безотказность и ремонтопригодность. Заметим, что G(t) дает оценку не за весь период от 0 до t, а только в заданный момент времени t, поскольку до этого система могла находиться как в работоспособном (0), так и в неработоспособном (1) состояниях.

На рис. 7.3 построен график: при .

Предположив  = const, можно наглядно увидеть насколько повысится надежность системы за счет увеличения  (сокращения времени восстановления ) для определенного времени t. Например, при увеличении  в десять раз для момента  t =1надежность повысится с
G(t) = 0,41 до G(t) = 0,95. Для высоконадежных систем, к примеру, трансформатора, когда:  < 1/ч,  > 1/ч, оценку надежности целесообразно определять за год эксплуатации. В этом случае удобно пользоваться коэффициентом готовности.

Определим предельное значение G(t)по выражению (7.3):

. (7.4)

Асимптотическое значение функции готовности при t   и есть коэффициент готовности.

Таким образом, коэффициент готовности представляет собой вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование системы по назначению не предусматривается.

Пример. Имеется восстанавливаемая система, у которой параметр потока отказов  = 1/ч = const, средняя интенсивность восстановления 1/ч. Определить, на сколько повысится надежность этой системы за счет более высокой организации работы ремонтного персонала, если интенсивность восстановления системы повысилась вдвое (сократилось вдвое время восстановления).

Решение. ч; 50 ч. Коэффициент готовности системы до улучшения организации труда ремонтного персонала составлял

.

При улучшенной организации труда

.

По сумме затрат, связанных с улучшением организации труда и экономического эффекта от повышения надежности (улучшения ремонтопригодности), можно сделать вывод о целесообразности такого способа повышения надежности системы.