Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2018-01-28 | 642 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
Пусть ортонормированная система функций на отрезке
и пусть Обозначим через коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе :
Рассмотрим линейную комбинацию
|
принимает минимальное значение. Запишем его подробнее
|
Первые два слагаемых в первой части равенства (7) не зависят от , а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при . Интеграл
|
|
Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
|
т.е. для всякой функции ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится.
Так как система
|
справедливое для любой функции с интегрируемым квадратом.
Если интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что .
|
Равенство Парсеваля
|
называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).
Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме
Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ряда Фурье функции сходятся к функции в среднем, т.е. по норме пространства .
Ортонормированная система называется полной в , если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида
с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции и для любого найдется натуральное число и числа такие, что
Теорема №7
Если ортонормированная система полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к в среднем, т.е. по норме .
Можно показать, что тригонометрическая система
полна в пространстве Отсюда следует утверждение.
Теорема №8
Если функция , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!