Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2018-01-28 | 281 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются.
Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы на каждом из которых монотонна, т.е. либо не убывает, либо не возрастает (см. рис.1).
Примеры
1. Функция является кусочно-монотонной на интервале , так как этот интервал можно разбить на два интервала , на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).
2. Функция кусочно-монотонна на отрезке , так как этот отрезок можно разбить на два интервала
Теорема №3
Функция , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , может иметь на нем только точки разрыва первого рода.
Доказательство
Пусть, например, точка разрыва функции Тогда в силу ограниченности функции и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы
Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.
Теорема №4
Если периодическая функция с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы
Этого ряда выполняются равенства:
1.
2.
3.
Примеры
3. Функция периода , определенная на интервале равенством , удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому её можно разложить в ряд Фурье. Находим для неё коэффициенты Фурье:
|
Ряд Фурье для такой функции имеет вид
4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале .
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.
Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:
На концах отрезка , т.е. в точках , которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь .
Замечание. Если в найденном ряде Фурье положить , то получим
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Функция , определенная на отрезке , называется четной, если
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция , определенная на отрезке , называется нечетной, если
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры
1. Функция является четной на отрезке , так как для всех
2. Функция является нечетной на отрезке , так как для всех
3. Функция , не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как
.
Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке . Тогда
т.е. является четной функцией, а - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции будут равны
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид
Если нечетная функция на отрезке , то произведение будет нечетной функцией, а произведение четной функцией. Поэтому будем иметь
Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид
Примеры
1. Разложить в ряд Фурье на отрезке функцию
>>Решение <<
2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию .
>>Решение<<
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!