Комплексная запись ряда Фурье

(1)

Пусть функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке её можно представить рядом вида

Используя формулы Эйлера

найдем, что

(2)

Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо и , будем иметь

Введем следующие обозначения

Тогда ряд (2) примет вид

Преобразуем правую часть этого равенства следующим образом

 

(3)

Последнее равенство можно записать так:

Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3).

Найдем выражения коэффициентов и через интегрирование. Имеем

Аналогично находим

Окончательно формулы для и и можно записать так:

Коэффициенты называются комплексными коэффициентами Фурье функции .

(4)

Для периодической функции с периодом комплексная форма ряда Фурье примет вид

где коэффициенты вычисляются по формулам

Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: эти ряды называются сходящимися для данного значения x, если существуют пределы

 

Примеры

1. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода 2π

…. решение….

 

 

Ряд Фурье

По общим ортогональным системам функций

Ортогональные системы функций

Обозначим через множество всех действительных функций, определенных и интегрируемых на отрезке с квадратом, т.е. таких, для которых существует интеграл

В частности, все функции , непрерывные на отрезке , принадлежат , и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана.

(1)

Система функций , где , называется ортогональной на отрезке , если

(имеется ввиду интеграл Лебега)

Замечание. Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю.

Введем обозначение

и назовем величину нормой функции .

Если в ортогональной системе для всякого n имеем , то система функций называется ортонормированной.

Если система ортогональна, то система ортонормирована.

Примеры

1.

2.

3.

 

Система функций называется ортогональной на интервале с весом , если:

1. для всех существуют интегралы

2.

Здесь предполагается, что весовая функция определена и положительна всюду на интервале за возможным исключением конечного числа точек, где может обращаться в нуль.

Примеры

4.

5.

 

(4)

9.2. Ряд Фурье по ортогональной системе

Пусть ортогональная система функций в интервале и пусть ряд

сходится на этом интервале к функции :

(5)

Умножая обе части последнего равенства на фиксировано) и интегрируя по x от a до b, в силу ортогональности системы получим, что

или

(6)

Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция . Образуем числа по формуле (5) и напишем

Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции относительно системы . Числа называются коэффициентами Фурье функции по этой системе. Знак в формуле (6) означает лишь, что числа связаны с функцией формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию ?

 

Сходимость в среднем

Последовательность , сходится к элементу в среднем, если

или, что то же, норма в пространстве .

 

 

Теорема №6

Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем.

Доказательство

Пусть последовательность сходится равномерно на отрезке к функции . Это означает, что для всякого при всех достаточно больших n имеем

Следовательно,

откуда вытекает наше утверждение. Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно: последовательность может сходиться в среднем к , но не быть равномерно сходящейся.

Пример

Рассмотрим последовательность….