Конечная или бесконечная система функций — КиберПедия 

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьше­ния длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...

Конечная или бесконечная система функций

2018-01-28 248
Конечная или бесконечная система функций 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

интегрируемых на отрезке , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров таких, что выполняется равенство

Теорема №1.

Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке .

Доказательство

При любом целом имеем

С помощью известных формул тригонометрии

 

 

для любых натуральных находим:

Наконец, в силу формулы

для любых целых получаем

При имеем

Что и требовалось доказать.

 


 

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты тригонометрического ряда (1), зная функцию

Теорема №2.

(1)
(2)
Пусть равенство

имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке . Тогда справедливы формулы:

Доказательство

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.

Имеем

или

откуда и следует первая из формул (2) для

Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию произвольное натуральное число:

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

откуда

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на и интегрируя от , получим

откуда

Что и требовалось доказать.

 

 

Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2π, интегрируемая на отрезке . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и .

Тригонометрический ряд

Коэффициенты которого определяется через функцию по формулам

Называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции

Каждой интегрируемой на отрезке функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию , определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию периодически на всю ось Оx, то получим функцию на интервале :

Эту функцию называют периодическим продолжением функции . При этом функции не имеет однозначного определения в точках

Ряд Фурье для функции тождественен ряду Фурье для функции . К тому же, если ряд Фурье для функции с отрезка на всю ось Ox. В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции , определенной на отрезке , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции , являющейся периодическим продолжением функции на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.

 

Достаточные условия


Поделиться с друзьями:

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.006 с.