Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2018-01-28 | 248 |
5.00
из
|
Заказать работу |
интегрируемых на отрезке , называется ортогональной системой на этом же отрезке, если для любых номеров таких, что выполняется равенство
Теорема №1.
Тригонометрическая система
ортогональна на отрезке .
Доказательство
При любом целом имеем
С помощью известных формул тригонометрии
для любых натуральных находим:
Наконец, в силу формулы
для любых целых получаем
При имеем
Что и требовалось доказать.
Тригонометрический ряд Фурье
Поставим себе задачей вычислить коэффициенты тригонометрического ряда (1), зная функцию
Теорема №2.
|
|
имеет место для всех значений x, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке . Тогда справедливы формулы:
Доказательство
Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать.
Имеем
или
откуда и следует первая из формул (2) для
Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию произвольное натуральное число:
Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,
Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при , равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому
откуда
Аналогично, умножая обе части равенства (1) на и интегрируя от , получим
откуда
Что и требовалось доказать.
Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2π, интегрируемая на отрезке . Можно ли её представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и .
Тригонометрический ряд
Коэффициенты которого определяется через функцию по формулам
Называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции
Каждой интегрируемой на отрезке функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье
Т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.
Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию , определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку то такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию периодически на всю ось Оx, то получим функцию на интервале :
Эту функцию называют периодическим продолжением функции . При этом функции не имеет однозначного определения в точках
Ряд Фурье для функции тождественен ряду Фурье для функции . К тому же, если ряд Фурье для функции с отрезка на всю ось Ox. В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции , определенной на отрезке , равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции , являющейся периодическим продолжением функции на всю ось Ox. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций.
Достаточные условия
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!