Поправка Ирвинана пластичность

Как следует из соотношений (4.1), при

r ® 0 s_y ®¥;

r ®¥ s_y ® 0,

и если первый результат совершенно понятен – в задачах теории упругости могут быть получены любые, сколь угодно большие напряжения, то второй – нет: при r ®¥составляющая s_y должна стремиться к номинальному напряжению s. Следовательно, решение (4.1) носит локальный характер и может использоваться лишь в области, ограниченной, в первом приближении, изобарой, уравнение которой следует из условия

С другой стороны, напряжения при r ® 0 бесконечнымибыть не могут: ониограничены пластическим течением материала. Используя диаграмму деформирования идеального упругопластического тела (диаграмму Прандтля–Райса, рис. 4.11) получим приближенную (так называемую Iоценку) размера r _Тзоны пластического деформирования (в дальнейшем, для краткости, зоны пластичности) около вершины трещиныпри q = 0. Будем пока считать, что границей ее является окружность (рис.4.12). Очевидно, на границе зоны пластичности

,

откуда

(4.2)

Заметьте, что при выполнении этой оценки была допущена серьезная ошибка, а именно, потеряна нагрузка, соответствующая напряжениям, превышающим предел текучести, что, в свою очередь, привело к нарушениюусловия равновесия.

Уточненную (IIоценку) размера зоны пластичности выполним, следуя Ирвину, путем моделирования физической нелинейности объекта (вследствие пластического деформирования материала) нелинейностью геометрической. Как известно, при неупругом деформировании повышается податливость системы (ее характеризуют секущим модулем С – см. рис. 4.11). Того же эффекта можно добиться фиктивным удлинением трещины, заменив реальную (физическую) длину l фиктивной l_эф = l + r ₁(рис. 4.13). Определим размеры r ₁ и r ₂зоны пластичности, исходя из условия, что размер r ₁фиктивного удлинения трещины должен обеспечивать равенство нагрузок, отвечающих областям А и В.

Найдем вначале величину r ₂:

Из условия равенства нагрузок Q_A = Q_B, которое сводится к равенству площадей S_A = S_B,запишем

учитывая, что r ₁<< l, а r ₁» r _Т , получим

возведем правую и левую части равенства в квадрат: ;

с учетом выражения (4.2) последний результат представим в виде

Таким образом, оказалось, что r ₁ = r ₂ = r _Т, то есть, в соответствии с уточненной оценкой протяженность зоны пластического деформирования оказалась вдвое больше, чем было определено приближенно.

Из приведенных рассуждений следует важный вывод:

вследствие образования зоны пластического деформирования податливость системы возрастает, что уравнениями (4.1) не учитывается, однако, используя эффективную длину трещины l_эф = l + r ₁, можно по-прежнемуприменять эти соотношения.

Величина r ₁носит название поправки Ирвина на пластичность; в дальнейшем будет обозначаться r _*.

Разумеется, как при l = l (физической длине), так и при l = l_эф уравнения (4.1) внутри зоны пластичности неприменимы, но с фиктивной длиной трещины эти зависимости вновь могут быть использованы в точках с координатами r ³ r ₂, в то время как с исходной длиной l в точках r ³ (r ₁+ r ₂) они показывают заниженные значения напряжений.

В условиях плоского деформированного состояния (ПДС) пластическое течение в окрестности вершины трещины стеснено окружающим объемом упруго работающего материала, поэтому размер зоны пластичности при ПДС оказывается значительно меньше, чем при плоском напряженном состоянии (ПНС) –рис. 4.14.По-разному реализуются и пластические сдвиги в этой области (рис. 4.15).

Известно, что в этих условиях интенсивность напряжений s _иТ, при которой начинается пластическое течение материала, примерно втрое превышает предел текучести s _Т, найденный при одноосном растяжении лабораторного образца. Отношение k = s _иТ/ s _Тв англоязычной литературе называется коэффициентом ограничения на пластичность.

Воспользовавшись одним из известных критериев текучести, нетрудно показать, что размер r _Т (q = 0) зоны пластичности при ПДС действительно будет меньше, чем при ПНС (в частности, по критерию Мизеса, если значение коэффициента Пуассона m = 0,3, в девять раз).

Что же касается поправки Ирвина на пластичность r _*, то при ее определении следует иметь в виду, что средняя величина коэффициента ограничения на пластичность для конструкций, работающих в условиях ПДС, оказывается меньше трех. Это объясняется существованием области плоского напряженного состояния на свободной поверхности тела и переходной от ПНС к ПДС зоны вблизи поверхности. Ирвином было принято значение

.

Тогда выражение (4.2) будет иметь вид

(4.3)

что составляет треть величины коррекции на зону пластичности при плоском напряженном состоянии. На рис. 4.16 показана зона пластического деформирования материала в толстой пластине (плите), в которой реализуютсявсе три вида напряженного состояния.Границы этой зоны были определены с помощью критерия начала пластического течения Мизеса.