Элементы нелинейной механики разрушения в силовом подходе. Двухпараметрический критерий Е.М. Морозова

Обсуждавшееся до сих пор хрупкое разрушение –лишь один из возможных механизмов исчерпания несущей способности элементов конструкций. Его противоположностью является вязкое разрушение, возможно и без образования трещины. В структурно неоднородных материалах, например, композитах, таких механизмов может больше.

Стремление сформулировать критериальные соотношения, учитывающие оба предельных механизма, а также промежуточные состояния (так называемое квазихрупкое разрушение) было реализовано в виде специальных двухпараметрических критериев. Один их них базируется на концепции коэффициента интенсивности напряжений, другой – раскрытия в вершине трещины (в рамках деформационного подхода). Остановимся на первом, предложенном в свое время Е.М. Морозовым.

В тех условиях, когда реализуется хрупкое разрушение, применим силовой критерий

В этом случае, как уже говорилось, размер зоны пластичности в вершине трещины мал, невелика и критическая нагрузка F_c (рис. 4.31).

С уменьшением размера трещины величина F_c, очевидно, будет увеличиваться, соответственно увеличивается и зона пластичности.В пределе при l = 0 и нагрузке F _В= F (s _В) пластическим течением будет охвачено все сечение.Условие вязкого разрушения в этих условиях вполне очевидно:

.

Рис. 4.32. Предельная поверхность модельного материала в котором возможна реализация либо хрупкого,либо вязкого разрушения

Рис. 4.33. Предельная поверхность реального материала в котором возможны как хрупкоеили вязкое, так и смешаноеразрушения

Допустим, что в образце могут реализовываться только два предельных механизма – хрупкое и вязкое разрушение – в отсутствии смешаных. Отвечающая обоим критериям предельная поверхность такого модельного материала показана на рис. 4.32. Критерий достижения предельного состояния в двухпараметрической форме имеет вид

Приведенная схема является предельно упрощенной и носит иллюстративный характер. В действительности всегда имеют место смешаные виды разрушения, поэтому предельная поверхность уже не имеетпрямых граней (рис. 4.33).

Эксперименты и теоретический анализ показывают, что в бесконечной пластине с увеличением длины трещины l_c происходит компенсирующее падение разрушающей нагрузки s_с, в результате чего критическое значение K (l_c, s_с) КИН остается постоянным. Линия предельной поверхности в области хрупких разрушений оказывается параллельна оси абсцисс (см. рис. 4.33); и вообще, если для данного материала в рассматриваемых условиях существует возможность хрупкого разрушения, то предельная поверхность будет иметь горизонтальное плато.

В телах конечных размеров КИН определяется, помимо прочего,еще и взаимодействием поля напряжений в вершине трещины с границами объекта (в частности, для схемы, изображенной на рис. 4.31 ,см. также рис. 4.10); в этих условиях взаимная компенсация величин s_с и l_c в широких пределах уженевозможна, поэтому критическое значение КИН оказывается зависимым от длины трещины l_c (отражается поверхностью разрушения–сплошной линией на рис. 4.33).

Сама же зависимость

K (l, s_с) = K_с (l),

найденная экспериментально с помощью соотношений линейной механики разрушения, была названа автором пределом трещиностойкости (I_c).

Надо признать, что это обстоятельство – зависимость отразмера трещины – затрудняет определение характеристики I_c. Ниже будет показано, что в определенном диапазоне длин трещин (длинных трещин) предел трещиностойкости можно считать почти независимым от параметра l.

Не случайно вэтом разделе столько внимания было уделено силовому подходу в механике разрушения – именно он, главным образом, используется в практике инженерных расчетов, связанных соценкой трещиностойкости конструкций. Вместе с тем, наряду ссиловым в механике разрушения разрабатываются и иные, альтернативные, подходы – энергетический и деформационный, которые более распространены в научной практике.

Энергетический подход

к оценке трещиностойкостиэлементов конструкций

Другими довольно широко используемыми в настоящее времякритериями трещиностойкости элементов конструкций являются энергетические. Смысл энергетического подхода к формулировке условия хрупкого разрушения состоит в следующем:

рост трещины возможен лишь в том случае, когда система способна выделить энергию, необходимую для образования новых поверхностей.

Источником энергии может быть работа, совершаемая внешней нагрузкой, или энергия упругого деформирования, запасенная в системе.

Стабильный (контролируемый, см. рис. 4.28) рост трещины в пластине единичной толщины возможен, если выполняется условие

,

(4.7)

 

 

где А – работа внешней нагрузки;

U – потенциальная энергия упругого деформирования;

F – энергия, необходимая для образования новых поверхностей, иными словами, для продвижения трещины.

Структура энергозатрат на этапе стабильного роста трещины показана на рис. 4.23.

Параметр называется интенсивностью выделения энергии, – сопротивлением росту трещины.

По смыслу отношение представляет собой энергию, приходящуюся на единицу пути распространения трещины, которая пропорциональна величине ; интенсивность же выделения энергии в целом – . Схеме «трещина в бесконечной тонкой пластине при одноосном растяжении» (рис. 4.7) соответствует значение постоянной С = p; окончательно

	– плоское напряженное состояние;	(4.8)
	–плоскоедеформированноесостояние.	(4.9)

Таким образом, для стабильного роста трещины необходим баланс между подводимой и поглощаемой энергией. В хрупких материалах, таких как силикатное стекло, полиметилметакрилат, конструкционная керамика и др., последнюю связывают с так называемой поверхностной энергиейg, необходимой для образования новых поверхностей,

F = 2 g l, .

Уравнение энергетического баланса (4.7) для системы на рис. 4.7 разрешим относительно критического напряжения s_c:

.

Этот критерий впервые был сформулирован А.Гриффитсом.

Анализ и экспериментальные проверки критерия Гриффитса (Ирвин, Орован и др.) показали, что в действительности энергия развития трещины в металлах значительно превосходит теоретическую величинуповерхностной энергии g. Этот факт объясняется преобладанием в общих энергетических затратах доли энергии, расходуемой на пластическое деформирование материала у вершины трещины(диссипации), над той ее частью, которая необходима непосредственно для разделения поверхностей, т.е., разрушения, разрыва связей в материале.

В результате экспериментальных исследований было установлено, что сопротивление росту трещины R при плоском деформированном состоянии практически не зависит от ее длины l. Существует такое значение интенсивности выделения энергии – константа материала, выше которого материал не способен поглотить выделяемую системой энергию (рис. 4.34). Условие энергетического баланса нарушается: G > R – стабильное подрастание трещины сменяется лавинообразным.

В условиях плоского напряженного состояния характеристика R=R (l)нелинейна, в связи с чем она получила название R–кривая. Как следует из схемы нарис. 4.34 справа, при любой величине номинального напряжения s £ s ₂рост трещины невозможен, поскольку выделяемой энергии недостаточно для преодоления сопротивления росту трещины(равенство G = R выполняется в одной-единственной точке – В); тем не менее размер трещины в этот момент, как и во все предыдущие, остается прежним(Dl_i =0). По мере увеличения нагрузки s > s ₂происходит контролируемый рост трещины, так напряжению s ₃отвечает удлинение D l ₃.Наконец, точка D на диаграмме соответствует моменту, после которого энергетический баланс нарушается в пользу интенсивности выделения энергии (G > R), стабильный рост трещины сменяется нестабильным.

Таким образом, необходимое и достаточное условие разрушения в энергетических терминах имеет вид

G = R;

.

Заметим, что при плоском напряженном состоянии критическая интенсивностьвыделения энергии G _1с уже не является характеристикой материала.

Крафт предположил, что для данного элемента конструкции R –кривая инвариантна по отношению к длине трещины, что для определенных условий было подтверждено экспериментально. На основании этой гипотезы можно любой длине l_i трещины сопоставить значение характеристики трещиностойкости (рис. 4.35).

В ходе экспериментального изучения закономерностей распространения трещин в плоских образцах в ряде случаевотмечалась локальная нестабильность этого процесса.Сростом нагрузки трещина, вначале неподвижная, при достижении некоего порогового значения интенсивности выделения упругой энергии , не зависящего от длины трещины, совершает резкий скачок на величину D l_хлопка (рис. 4.36), сопровождающийся отчетливо слышимым щелчком, после чего следует период ее стабильного развития. Эта особенность получила название«эффект хлопка».Для описания эффекта хлопка были предложены специального вида R –кривые, одна из которых приведена на рис. 4.36.

Своеобразной характеристикой трещиностойкости конкретногообъекта можно считать упоминаемую ранее довольно часто в отечественной и зарубежной литературе диаграмму докритического разрушения –связь номинального напряжения, по сути, нагрузки, с длиной трещины на стадии ее стабильного развития (рис. 4.37). Нетрудно видеть, что данная диаграмма может бытьполученапутем анализа поведения трещины в указанный период, и полностью объясняется соотношениемфункции G (s, l)и заданной R –кривой.

Ранее, в подразделе 4.9 было отмечено, что для достаточно длинных трещин предел трещиностойкостидовольно слабозависит от параметра l, и в первом приближенииего можно считать постоянным.Это утверждение иллюстрирует рис. 4.37: критические длины трещины l_с, l_{с 1}, l_{с 2} заметно отличаются друг от друга,но критическая интенсивность выделения упругой энергии с ростом длины трещины увеличивается незначительно. Таким образом, задавшись допуском DG _1c, можно определить диапазон длин трещин, в котором величина G _1cстановится постоянной рассматриваемой системы, чтоупрощает соответствующие расчеты.

В пластинах конечной ширины (так называемых полосах) зависи мость G (l) становится нелинейной (рис. 4.35, трещинадлинойот ) в связи со взаимодействием поля напряжений в вершине с границами пластины. С учетомоднозначной связи между параметрами G и K в рамках линейной механики разрушения (см. соотношения (4.8), (4.9))это обстоятельство отражается введением в выражение для коэффициента интенсивности напряжений корректирующих функций, например,

(см. подраздел 4.4). В связи с этим кривая имеет экстремум (рис. 4.38).Оказывается, наибольшая трещиностойкость пластин с трещинами может быть достигнута при оптимальном с точки зрения хрупкой прочности соотношении ширины пластины и длины трещины, причем, надо заметить, не самой короткой.

В том случае, когда размер зоны пластичности не может считаться весьма малым по сравнению с длиной трещины (необходимо отличие, по крайней мере, в 25 раз, см. подраздел 4.7), параметр «интенсивность выделения упругой энергии» неприменим, т.к. пренебречь диссипацией энергии при неупругом деформировании уже нельзя. Решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности трещины, выходящее за рамки линейной механики разрушения, были предложены независимоГ.П. Черепановым и Дж. Райсом. Последним также был сформулирован энергетический критерий разрушения, использующий специальную характеристику – так называемый J – интеграл

;

здесь T_i = s_ij n_j – составляющие проекции тензора напряжения на нормаль к замкнутому контуру Г (рис. 4.39);

– работа, затраченная на деформирование элемента объема;

u – перемещение вдоль оси х;

ds – элемент дуги контура Г.

Можно показать, что J –интег-рал не зависит от пути интегрирования (поэтому его называют контурно независимым) при условии, что контур интегрирования не вторгается в зону пластического деформирования. Это позволяет выбирать такие траектории, где интегрирование не представляет трудностей, например, свободные края образца (рис. 4.39).

В тех условиях, когда справедлив подход линейной механики разрушения, J –интеграл совпадает с интенсивностью выделения упругой энергии G, в общем же случае величина (U –потенциальная энергия) представляет обобщенную функцию выделения энергии системой за счет продвижения трещины (рис. 4.40). Аналогом критического значения G _{1 с} является критическое значение J –интеграла J _{1 с} , что экспериментально было подтверждено Бигли, Лэндисом, Кобаяши и др.