В вершине трещины нормального отрыва

Всякое разрушение трещинораспространением можно представить одной из изображенных на рис. 4.6 схем (тип I – трещиной нормального отрыва, плоского – тип IIили антиплоского– тип IIIсдвига) или их комбинацией. Трещина первого типа –нормального отрыва – является, пожалуй, наиболее распространенной в технических приложениях. Именно такой тип разрушения иллюстрируют примеры на рис 4.1 (в случае б возможно сочетание Iи II механизмов). Второй тип трещин реализуется в определенных условиях, например, при обработке деталей резанием на токарных и строгальных станках, третий – при резке металлов гильотинными ножницами. В связи со сказанным при рассмотрении закономерностей механики разрушения ограничимся трещиной нормального отрыва.

На рис. 4.7 показан один из наиболее простых расчетных случаев – трещина длиной 2 l в бесконечной плоской пластине, нагруженной вдали от дефекта растягивающим напряжением s = const. Напряженно-деформированное состояние около вершины такой трещины можно получить, решая задачу теории упругости, например, с помощьюфункции напряжений Эри F,котораядля линейно упругого материала должна удовлетворять бигармоническому уравнению

Ѳ(Ѳ F) = 0,

где –оператор Лапласа.

Подстановка функции напряжений определенного вида в данное уравнение и привлечение граничных условий приводит к дифференциальному уравнению второго порядка, общее решение которого представляют, чаще всего, в виде степенного или тригонометрического ряда. Решение однородной системы уравнений относительно коэффициентов при членах ряда и его анализ позволяют получить конкретное выражение для функции напряжений F. Дифференцируя последнюю, находят распределение компонент напряженного состояния в окрестности вершины трещины. Для рассматриваемой задачи оно описывается выражениями

(4.1)

(m –коэффициент Пуассона). С помощью обобщенного закона Гука можнополучить соответствующиесоставляющие деформации, интегрирование которых позволяет найти компоненты перемещения.

Подобные решения для различных случаевнагружения и конфигурации трещины приведены в работах Вестергарда (Westergaard), Си (Sih), Ирвина (Irwin),Пэриса (Paris).

Решение (4.1) иллюстрирует картина изобар (линий, соединяющих точки с одинаковыми значениями напряжения s _ij = const), отвечающая плоскому напряженному состоянию (рис. 4.7); в относительных величинах она показаны на рис. 4.8.

Полученная экспериментально методом фотоупругости картина изохром – линий, соединяющих точки с одинаковыми значениями разности главных напряжений s ₁– s ₃= const (рис. 4.9)– незначительно отличается от расчетной.

4.4Понятие коэффициента интенсивности напряжений

В общем виде система уравнений (4.1) может быть записана в виде

.

Выражение K _I = s представляет в рассматриваемом случае (рис. 4.7) специальныйпараметр, именуемый коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) и характеризующийполе упругих напряжений с учетом сингулярности в вершине трещины (индекс Iуказывает на тип трещины – нормального отрыва). Как видно, КИН зависит от вида и величины нагрузки,а также геометрических параметров системы; размерность этой величины – или .

Если трещина находится в пластине ограниченной ширины (ее иногда называют полосой), то коэффициент интенсивности напряженийдля этой системы оказывается выше,чем в бесконечной (рис. 4.10). Указанное отличие учитывается с помощью корректирующей функции, например:

–

– по Вестергарду и Ирвину.

Сведения о коэффициентах интенсивности напряжений для различных расчетных схем содержатся в справочнике [7].