Контрольная работа № 1 Физические основы механики

101. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени Δt = 10 c достиг частоты вращения п = 300 мин‾ ¹. Определить угловое ускоре­ние e маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

102. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям

х = А 1 + B 1 t + C 1 t ² и y =A 2 + B 2 t + C 2 t ², где В 1 = 7 м/с, C1 = -2 м/с², В 2 = -1 м/с,

С 2 = 0,2 м/с². Найти скорость υ и ускорение а точки в момент времени t = 5 с.

103. Тело брошено под углом a = 30° к горизонту со скоростью υ o = 30 м/с. Каковы будут нормальное аn, тангенциальное а t и полное а уско­рения тела через время t = 1 с после начала движения? Сопротивлением воз­духа пренебречь.

104. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в од­ном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через ∆ t = 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью υ1 = 1 м/с и ускорением

a 1 = 2 м/с², вторая – с начальной скоростью υ 2 = 10 м/с и уско­рением a 2 = 1 м/с². Через сколько времени t и на каком расстоянии S от ис­ходного положения вторая точка догонит первую?

105. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнени­ем x= А + Bt + Ct², где A = 10 м, В = -2 м/с, С = 1 м/с²; x – криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности. Найти тангенциальное а t нормальное а n и полное а ускорения точки в момент времени t =2 с.

106. Точка движется по прямой согласно уравнению х = At + Bt³, где А = = 6 м/с,

B = – 0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость <υ> движения точки в интервале времени от t 1 = 2 с до t 2 = б.с.

107. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным аt ускорением. Найти нормальное аn ускорение точки че­рез время

t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу N = 5 оборота после начала движения линейная скорость точки υ = 10 см/с.

108. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте

h = 8,6 м два раза с интервалом ∆ t = 3 с. Пренебрегая сопротивлени­ем воздуха, вычислить начальную скорость υ o брошенного тела.

109. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению j = А + Bt + Сt 1, где А = 3 рад, В = – 1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенци­альное аt, нормальное аn и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

110. Вертикально вверх с начальной скоростью υ o = 20 м/с брошен ка­мень. Через t = 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же начальной скоростью. На какой высоте h встретятся камни? Со­противлением воздуха пренебречь.

111. Ядро атома распадается на два осколка массами т 1 = 1,6ּ10^-25 кг и т 2 =

=2,4ּ10^-25 кг. Определить кинетическую энергию Т 2. второго осколка, если кинетическая энергия Т 1 первого осколка равна 18нДж.

112. Шар массой m = 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате прямого, центрального, абсолютно упругого удара шар потерял w = 0,36 своей кинетической энергии. Определить массу М большего шара.

113. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без про­тивооткатного устройства так, что ствол его расположен в горизонтальном положении. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса снаряда т 1 =

= 10 кг и его скорость при вылете из орудия υ 1 = 1 км/с. Масса платформы с орудием и прочим грузом т 2 = 20 т. На какое расстояние l откатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивления f = 0,002?

114. Шар массой т 1 = 1 кг движется со скоростью V 1 = 4 м/с и сталкива­ется с шаром массой т 2 = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью υ 2 = 3 м/с. Каковы скорости и 1 и и 2 шаров после удара? Удар считать абсолют­но упругим, прямым, центральным.

115. Боек свайного молота массой т 1 = 500 кг падает с некоторой высо­ты на сваю массой т 2 = 120 кг. Определить КПД h удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пре­небречь. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

116. Частица массой т 1 = 10^-25 кг обладает импульсом р 1 = 5ּ10^-20 кгּм/с. Определить, какой максимальный импульс pi может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой т 2 = 4ּ10^-25 кг, которая до соударения покоилась.

117. Два неупругих шара массами т 1 = 2 кг и т 2 = 3 кг движутся соот­ветственно со скоростями υ 1 = 8 м/с и υ 2 = 4 м/с. Определить увеличение ∆U внутренней энергии шаров при их столкновении в случае, когда меньший шар нагоняет больший.

118. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производи­лась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвиж­но закреплено, снаряд вылетел со скоростью υ 1 = 600 м/с, а когда орудию да­ли возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью υ 2 = 580 м/с. С какой скоростью у откатилось при этом орудие?

119. Два шара массами т 1 = 10 кг и т 2 == 15 кг подвешены на нитях длиной l =

= 2 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол j = 60° и выпушен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара. Удар шаров считать неупругим.

120. В деревянный шар массой m 1 = 8 кг, подвешенный на нити длиной l = 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой т 2 = 4 г. С какой ско­ростью υ 1 летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклони­лась от вертикали на угол

a = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули счи­тать прямым, центральным.

121. Масса Земли в n = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l ме­жду центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R – радиус Земли). На каком расстоянии r от центра Земли находится точка, в которой суммарная напря­женность G гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

122. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли ма­териалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h = 40 м. наружным диаметром D = 3 м и внутренним диаметром d = 2 м? Плотность r материала принять равной 2800 кг/м³.

123. Во сколько раз средняя плотность r з земного вещества отличается от средней плотности r л лунного? Принять, что радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны, а ускорение свободного падения на поверхности Земли в k = 6,1 раза больше ускорения свободного падения на поверхности Луны.

124. Пружина жесткостью k = 1 кН/м была сжата на x 1 = 4 см. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжатие пружины увеличить до x 2 = 18 см?

125. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость υ 0 ракеты равна пер­вой космической скорости?

126. Стальной стержень длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения S =2 см² растягивается некоторой силой, причем удлинение х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня и объемную плотность w энергии.

127. Определить работу А, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой т = 1кг упадет на поверхность Земли: 1) с вы­соты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности? Радиус R Земли и уско­рение g свободного падения на ее поверхности считать известными.

128. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, постав­ленной на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5 см?

129. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период Т обращения спутника. Ускорение g свобод­ного падения у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

130. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х = 1 мм стальной стержень длиной l = 1 м и площадью S поперечного сечения, рав­ной 1 см²?

131. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках за сере­дину стержень длиной l = 2,4 м и массой т = 8 кг, расположенный верти­кально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой п 1 = 1 с^-1. С какой частотой n 2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инер­ции J человека и скамьи равен

6 кгּм².

132. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью υ = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления f, если диск, будучи предоставлен­ным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

133. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиу­сом R =

= 2 м, стоит человек массой т 1 = 80 кг. Масса платформы m 2 = 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью w будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью υ = 2 м/с относительно платформы.

134. Через неподвижный блок массой т = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы массами т 1 = 0,3 кг и т 2 = 0,5 кг. Определить силы натяжения Ti и Тг нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу. Тре­нием и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

135. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой п 1 = 6 мин‾¹. На краю платформы стоит человек, масса т которого равна 80 кг. С какой частотой п 2 будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кгּм². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

136. Шарик массой m = 100 г, привязанный к концу нити длиной l 1 = 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой п 1 = 1 с‾¹. Нить укорачивается, и шарик приближается к оси вращения до расстояния l 2 = 0,5 м. С какой частотой n 2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

137. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стер­жень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой п 1 = 10 с‾¹. Радиус R коле­са равен 20 см, его масса m =

= 3 кг. Определить частоту т вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол j = 180°? Суммарный момент инер­ции J человека и скамьи равен 6 кгּм². Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.

138. Однородный стержень длиной l = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой т = 7 г, летящая перпендику­лярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонился на угол a = 60°. Скорость υ 0 пули принять равной 360 м/с.

139. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой т = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кгּм²?

140. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = А + Bt + Ct ², где А = 2 рад, В = 16 рад/с, С = – 2 рад/с². Момент инерции J ма­ховика равен 50 кг·м²; Найти законы, по которым меняются вращающий мо­мент М и мощность N. Чему равна мощность N в момент времени t = 3 с?

141. Найти скорость υ течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа т = 0,51 кг. Плотность газа р = 7,5 кг/м³. Диаметр трубы D = 2 см.

142. Какой наибольшей скорости υ может достичь дождевая капля диа­метром d =

= 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха h = 1,2·10^-5 Па·с?

143. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d 1 = 3 мм и d 2 = 1 мм од­новременно опустили в сосуд с глицерином высотой h = 1 м. На сколько поз­же упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра?

144. При движении шарика радиусом r 1 = 2,4 мм в касторовом масле ла­минарное обтекание наблюдается при скорости υ 1 шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости υ 2. шарика радиусом r 2 = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

145. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью <υ> = 10 см/с. Учитывая, что критическое значение чис­ла Рейнольдса для потока жидкости в трубе Reкр = 2300, определить характер течения жидкости.

146. Пробковый шарик диаметром d = 6 мм всплывает в сосуде, напол-' ненном касторовым маслом, с постоянной скоростью υ = 1,5 см/с. Определить для касторового масла динамическую h и кинематическую v вязкости.

147. Струя воды диаметром d= 2 см, движущаяся со скоростью υ = 10 м/с,

ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендику­лярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

148. Стальной шарик диаметром d = 0,8 см падает с постоянной скоро­стью υ в касторовом масле. Учитывая, что критическое значение числа Рей­нольдса для движения шарика в жидкости Reкр = 0,5, определить характер движения масла, обусловленный падением в нем шарика.

149. Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определить скорость υ ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха r = 1,29 кг/м³.

150. Шарик всплывает с постоянной скоростью υ в жидкости, плотность

r 1 которой в п = 4 раза больше плотности r 2 материала шарика. Во сколько раз сила сопротивления F с, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот же шарик?

151. Собственное время tо жизни частицы отличается на k = 1 % от времени t жизни по неподвижным часам. Определить относительную ско­рость υ движения этой частицы.

152. Определить скорость υ, при которой релятивистский импульс час­тицы превышает ее ньютоновский импульс в n = 3 раза.

153. Во сколько раз релятивистская масса т электрона, обладающего кинетической энергией T = 1,53 МэВ, больше массы покоя m o?

154. Известно, что объем V воды в океане равен 1,37·10⁹ км³. Опреде­лить, на сколько возрастет масса т воды в океане, если температура воды повысится на ∆ t =

= 1°С. Плотность r воды в океане принять равной 1,03·10³кг/м³.

155. Релятивистский протон обладал кинетической энергией Т, равной энергии покоя Е о. Определить, во сколько раз возрастет кинетическая энер­гия T протона, если его импульс р увеличится в п = 2 раза.

156. Собственное время tо жизни m-мезона равно 2 мкс. От точки рожде­ния до точки распада m-мезон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоро­стью υ (в долях скорости света) двигался m-мезон?

157. Определить относительную скорость υ движения, при которой ре­лятивистское сокращение линейных размеров ∆ l / l о тела составляет 10 %.

158. Частица движется со скоростью υ = с/3, где с – скорость света в ва­кууме. Какую долю w энергии покоя Е о составляет кинетическая энергия T частицы?

159. На сколько процентов релятивистская масса т частицы больше массы покоя т о при скорости υ = 30 Мм/с?

160. Импульс релятивистской частицы р = т о c. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в п = 2 раза. Во сколько раз возрастет при этом полная энергия Е частицы?

161. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: х 1 = А 1 sin w t и x 2 = А 2 cos w t, где А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, w = 1 с‾¹. Определить ам­плитуду А результирующего колебания, его частоту v и начальную фазу jо. Написать уравнение этого движения.

162. Тело массой т = 4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совер­шало колебания с периодом Т 1 = 0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период T 2 колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относительно оси колебаний.

163. Найти возвращающую силу F в момент t = 1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х = A cos w t, где А = 20 см,

w0 = 2 p/3 с‾¹. Масса m материальной точки равна 10 г.

164. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого ма­ятника.

165. Точка совершает колебания по закону х = A sin w t. В некоторый мо­мент времени смещение x 1 точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колеба­ний увеличилась в n = 2 раза, смещение х 2 стало равным 8 см. Найти ампли­туду А колебаний.

166. На тонком стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стер­жень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т простых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.

167. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, про­исходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А 1 cosω t и у = А 2 cos ω (t + t), где А 1 = 4 см, А 2 = 8 см, w = p с‾¹, τ = 1 с. Написать уравнение траектории точки и построить график ее движения.

168. Математический маятник длиной l 1 = 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l 2 = 60 см синхронно колеблются око­ло одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

169. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению х = A cos ω t, где А = 8 см, ω = π/6 с‾¹. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения – 5 мН, потенциальная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фа­зу ω t.

170. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

171. Найти частоту υ основного тона струны, натянутой с силой F = 6 кН. Длина струны l = 0,8 м, ее масса т = 30 г.

172. Определить длину λ бегущей волны, если в стоячей волне расстоя­ние l между первой и седьмой пучностями равно 15 см.

173. Волна распространяется в упругой среде со скоростью υ = 100 м/с. Наименьшее расстояние ∆ х между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту v колебаний.

174. Два динамика расположены на расстоянии d = 0,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте v = 1500 Гц. При­емник находится на расстоянии l = 4 м от центра динамиков. Принимая ско­рость звука υ = = 340 м/с, определить на какое расстояние х от центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафик­сировал первый интерференционный минимум.

175. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносит­ся через время l = 5 с. Принимая скорость звука υ = 340 м/с, определить глу­бину h колодца.

176. Какую длину l должна иметь стальная струна радиусом r = 0,05 см, чтобы при силе натяжения F = 0,49 кН она издавала тон частотой v = 320 Гц?

177. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрываю­щей один из ее торцов. Расстояние l между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте v = 2500 Гц, составляет 6,8 см. Определить скорость υ звука в воздухе.

178. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. На­блюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука υ1 = 1100 Гц; когда удаляется, кажу­щаяся частота υ2 = 900 Гц. Найти скорость и электровоза и частоту υ0 зву­ка, издаваемого сиреной. Скорость звука в воздухе υ = 340 м/с.

179. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой ли­нии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение ξ точки, удаленной от источника на х = ¾ λ, в момент, когда от начала колебаний прошло время t = 0,9 Т?

180. Найти скорость υ распространения продольных упругих звуковых колебаний в меди.