Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 183 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция определена в области , и функция z дифференцируема в точке , тогда .
Определение. Производной функции в точке в направлении вектора называется предел отношения приращения функции z в направлении вектора в точке к
величине , когда .
где - направляющие косинусы вектора (они же координаты единичного вектора ).
Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в точке в направлении вектора .
Пример. Найти производные функции в точке в направлении вектора где .
1)
2)
3) В точке М функции возрастает в направлении вектора .
Градиент функции.
Определение. Градиентом функции в точке называется вектор с координатами равными частным производным функции z в точке и обозначается .
Градиент функции указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста функции равна модулю градиента.
Скалярное произведение равно производной функции по направлению в точке . Действительно Величина в правой части принимает наибольшее значение при , т.е. когда совпадает по направлению с . В свою очередь частные производные функции и является производными функции z в направлении координатных осей OX и OY.
;
.
Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
Пусть функция определена на множестве , точка является внутренней точкой множества D (принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью)
Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой при ().
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.
|
Теорема (необходимое условие экстремумов).
Если функция в точке имеет экстремум и в точке
существуют частные производные функции z, то эти частные производные
равны нулю, то есть .
Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из
того, что ещё не следует, что - точка экстремума. Это точка лишь "подозрительная" на экстремум. Такие точки называют стационарными. Экстремумы функции могут находиться либо в стационарных точках, либо в точках, где частные производные не существуют.
Теорема. (достаточное условие существование экстремума)
Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки , тогда, если , то - точка экстремума, причем при в точке локальный минимум, при -
локальный максимум; если , то - не является точкой экстремума.
Замечание. Если , то вопрос о существовании экстремума в точке остается открытым (используются другие методы исследования).
Пример. Найти экстремумы функции
, значит в точке А экстремума нет; и , значит в точке В локальный минимум
Лекция 8. Метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!