Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-13 | 213 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
12.4. Геометрическое приложение определенного интеграла
Несобственный интеграл
Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом
Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом меньшем отрезке и следовательно для любого . Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать его в виде .
Определение. Для функции , интегрируемой на , интеграл вида
, где , называется интегралом с переменным верхним пределом
интегрирования.
Рассмотрим функцию .
Теорема 1. Если интегрируема на , то непрерывна на .
Теорема 2. Если непрерывна на , то дифференцируема на и ее производная (иначе говоря: производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования).
Доказательство. так как при вследствие непрерывности функции на по условию.
Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом функции является первообразной для функции .
Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Теорема. Пусть непрерывна на и какая-либо первообразная
для , тогда .
Доказательство. Так как - первообразная на по условию и первообразная для на по теореме 1, то . Будем поочередно считать и , тогда , т.е. - формула Ньютона-Лейбница.
Отметим еще два варианта формулы:
, .
Пример. .
Методы интегрирования определенного интеграла.
а) Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла основан на применении таблицы интегралов, свойств интеграла, формулы Ньютона-Лейбница и элементарных преобразований подынтегральной функции.
|
Пример.
б) Метод интегрирования по частям.
Теорема. Пусть и имеют непрерывные производные на , тогда
в) Метод подстановки (замена переменной)
Теорема. Пусть непрерывна на , а функция имеет
непрерывную производную на и при значения , причем , , тогда .
Пример.
Геометрические приложения определенного интеграла.
1) Вычисление площадей плоских фигур.
Если .
Если .
Если .
Если .
Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то есть
, тогда .
2) Вычисление длин друг кривых.
Пусть кривая L задана явно, то есть , , тогда длина .
Если L задана параметрически , то .
3) Вычисление объемов тел вращения.
Пусть , . Будем вращать кривую вокруг оси 0X, тогда объем тела, полученного при вращении кривой, вычисляют по формуле
.
Если же кривую , вращать вокруг оси 0Y, то
.
Несобственные интегралы.
Рассмотрим . Функция определена на конечном промежутке и ограничена на нем. Если нарушается хотя бы одно из двух требований, то мы имеем дело с несобственным интегралом.
1. Пусть нарушается требование конечности чисел a и (или) b. При этом возможны случаи:
1) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , где .
Несобственным интегралом первого рода называется и обозначается , то есть (1).
Если предел в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и его значение равно пределу правой части. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.
2) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке ,
Несобственный интеграл первого рода в этом случае определяется по формуле (2).
3) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном отрезке этого интервала, тогда (3), причем несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3). Если хотя бы один из них расходится, то расходится интеграл в левой части.
|
Замечание. Если первообразная функции на , тогда справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница , где , .
Пример.
2. Пусть нарушается требование ограниченности функции .
1) Пусть функция непрерывна на и , тогда (4).
2) Если непрерывна на и , тогда (5).
Интегралы в левой части равенств (4) и (5) называются сходящимися, если в правой части этих равенств предел существует и конечен и значение несобственного интеграла равно пределу правой части. Если в правой части равенств (4) и (5) пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы в левой части этих формул называются расходящимися.
3) Если непрерывна на и , тогда (6).
Интеграл в левой части равенства (6) называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части этой формулы; и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части этой формулы.
Пример. Установить сходимость интеграла .
Так как и , то есть расходится, и потому данный интеграл расходится.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!