Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-13 | 331 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Касательная и нормаль к графику функции.
Дифференцируемость и непрерывность.
1.1.Определение производной. Механический, геометрический, экономический смысл производной.
Пусть функция определена на множестве внутренняя точка множества X, то есть принадлежит множеству с некоторой своей окрестностью. Аргументу дадим приращение , при этом функция получит приращение
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0, то есть
При этом используются обозначения:
– по Лагранжу; – по Лейбницу; – по Ньютону.
Запись следует понимать как производную функции в точке .
Физический смысл производной заключается в том, что
– мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени . В самых различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно величины x.
Геометрический смысл производной: рассмотрим график функции , MM0 – секущая.
Определение. Касательной к графику функции в точке M0 называется предельное положение секущей MM0, когда точка M движется к точке M0 по графику функции .
Также: – угол наклона касательной к оси оx, – угол наклона секущей к оси оy.
Если .
Рассмотрим : ; – производная функции в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке
Замечание. 1) Если существует конечная производная , то к графику функции в точке можно провести единственную касательную;
2) Если , то касательная к графику функции в точке параллельна оси оx.
3) В точке касательная не существует и производная функции также не существует.
|
Касательная и нормаль к графику функции.
Составим уравнение касательной к графику функции в точке
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом и, считая получим уравнение касательной в точке M0:
Определение. Нормалью к графику функции называется прямая, которая проходит через точку касания перпендикулярно касательной.
Так как угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны
соотношением уравнение нормали имеет вид:
Дифференцируемость и непрерывность.
Если функция имеет конечную производную в точке , то функция называется дифференцируемой в точке .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то функция непрерывна в точке .
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет конечную производную Также по свойству пределов если , то при . Тогда , где при .
Получили, что непрерывна в точке по определению непрерывности функции на языке приращений.
Теорема доказана.
Лекция 2. Правила дифференцирования.
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!