Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-13 | 282 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Если – первообразная функции на , то для функции
первообразными будет множество функций вида .
Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на и обозначается .
Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Для проверки правильности интегрирования надо взять производную от полученного результата, при этом должна быть получена подынтегральная функция. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование. Рассмотрим основные линейные и нелинейные свойства неопределенного интеграла:
Доказательство 2.
.
Таблица неопределенных интегралов.
1. , ,
2. , ,
3. ,
4. ,
5. , ,
6. , ,
7. , ,
8. ,
9. ,
10. , .
Основные методы интегрирования функций.
а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах неопределенного интеграла, применении таблицы интегралов и элементарных преобразований функций.
Пример 1. .
Пример 2. . Пример 3. .
б) Интегрирование по частям.
Теорема. Пусть и – две дифференцируемые функции на , тогда выполняется равенство .
Доказательство. Рассмотрим формулу . Интегрируя обе части равенства, получим или (*)
Эта формула позволяет свести нахождение к нахождению интеграла , который может оказаться более простым.
Замечания:
Формула (*) применима, если под интегралом одна из функций является алгебраической, другая – трансцендентной, причем если производная трансцендентной функции является также трансцендентной функцией, то за U принимают алгебраическую функцию, если же производная трансцендентной функции – алгебраическая функция, то за U принимают трансцендентную функцию.
За U обычно принимают функцию, которую трудно интегрировать.
Типы интегралов, берущихся по частям.
1) – многочлен, 2) , 3) ,
4) , 5) , 6) .
Интегралы 5 и 6 берутся применением формулы (*) дважды. В результате получается уравнение относительно исходного интеграла. Если в формуле 6 за U взята функция , то при повторном интегрировании за U вновь принимаем .
Пример. в) Интегрирование методом замены переменной.
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на , а функция имеет непрерывную производную на , причем при значение и существует обратная функция , тогда справедлива формула (1).
Пример.
Частным случаем теоремы 1 является
Теорема 2. Если , то .
Формулой (1) пользуются и справа налево, тогда этот метод называется методом «подведения функции под знак дифференциала».
Пример.
1. ,
2. .
Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!