Волновые процессы и их математическое описание

13.1. Плоская однородная волна. Пусть имеется какой-то физический процесс, распространяющийся в прямолинейном направлении z с постоянной скоростью v. В простейшем случае это означает, что, если где-либо было отмечено состояние процесса, характеризуемое величиной и = а, то через промежуток это состояние окажется смещенным вдоль оси z на величину отрезка l. Положим, что в начале координат (z = 0) состояние изменяется по закону u = u(t), тогда в произвольной точке z > 0 в результате запаздывания на время распространения z/v:

(13.1)

Будем считать, что выражение (13.1) определяет функцию во всём пространстве (по осям х и y никаких изменений не происходит), и назовем рассматриваемый процесс плоской однородной волной. Дело в том, что, положив z = const, мы задаём плоскость, в которой мгновенное значение фазы функции и постоянно; она называется фронтом волны. Взяв в некоторый момент t фронт, для которого и = а, легко убедиться, что с течением времени он движется вдоль оси z со скоростью v.

Ясно, что выражение

(13.1а)

тоже определяет плоскую однородную волну, отличающуюся от рассмотренной тем, что она распространяется в противоположном направлении минус z. Действительно, (13.1а) получается из (13, 1) при замене v на - v.

Обратимся к волновому уравнению (§ 7 п. 2)

(13 2)

Используя декартовы координаты и рассматривая лишь функции, отражающие отсутствие изменений по осям х и y (ди/дх = ди/ду = 0), приводим его к виду:

(13.3)

Взяв

(13.4)

где u₁ и и₂ - произвольные дважды дифференцируемые функции, путем непосредственной подстановки в (13.3) убеждаемся, что это - решение. Можно доказать, что формула (13.4) выражает общее решение одномерного волнового уравнения (13.3). На основании предыдущего мы можем утверждать, что оно описывает суперпозицию двух произвольных плоских однородных волн, распространяющихся навстречу друг другу со скоростью υ. В частности, при u₂ = 0 и, соответственно, при u₁= 0 возникают решения вида (13.1) и (13.1а).

13.2. Гармоническая волна.Взяв в (13.1) такую функцию и (z,t), что , приходим к весьма важному частному виду плоской однородной волны:

,

или

(13.5)

Это плоская однородная гармоническая волна; введённый параметр k называется волновым числом.

Как видно из (13.5), полная фаза гармонических колебаний ωt - kz + φ, при заданном t убывает пропорционально z; значения функции u(z, t) при этом периодически повторяются. Пространственный период называют длиной волны λ. Очевидно, для произвольного z должно быть:

u (z + λ, t) - и (z, t).

Поэтому из (13.5) следует, что kλ = 2π, т. е.

, (13.6)

а также

v = λ f, (13.7)

где f = ω/2π - частота процесса (§ 12 п. 1). Заметим, что в данном случае v называется фазовой скоростью.

Чтобы составить более наглядное представление о гармонической волне, положим сначала в (13.5) t = 0 и получим

и (z, 0) = и_т cos (- kz + φ) = и_т cos (kz - φ),

т. е. функцию, характеризующую распределение величины и вдоль оси z в начальный момент t = 0. Эта косинусоида представляет собой как бы «мгновенный снимок» процесса. Выберем следующий фиксированный момент t > 0 и для него запишем:

,

где

есть не что иное, как расстояние, пройденное волной за истекшее время τ. «Мгновенный снимок», соответствующий моменту τ, дает, таким образом, косинусоиду, сдвинутую по оси z на расстояние l. Итак, распространение рассматриваемой гармонической волны - это движение косинусоидального распределения и вдоль прямой с постоянной скоростью.

Плоскую однородную гармоническую волну мы должны получить как частное решение волнового уравнения (13.3). Поскольку речь идет о гармонических колебаниях с частотой ω (п.12.1), применим метод комплексных амплитуд (п.12.2), в результате чего (13.3) перейдет в одномерное уравнение Гельмгольца, т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение

(13.8)

Его решение возьмем в форме второй строчки (7.8):

(13.9)

Точки над Р и Q поставлены, чтобы подчеркнуть, что это, вообще говоря, произвольные комплексные константы и . Чтобы найти и, возьмём в соответствии с (12.5) ; это дает:

и (z, t) = P cos (ω t – kz + φ) + Q cos (ω t + kz + φ). (13.10)

Найденное решение уравнения (13.3) выражает суперпозицию двух гармонических волн, распространяющихся со скоростью υ в противоположных направлениях. Гармоническая волна, движущаяся вдоль оси z, возникает как частное решение при Q = 0.

В качестве другого частного решения рассмотрим суперпозицию бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами Р= Q и начальными фазами φ = ψ. При этом из (13.10) получаем:

и (z, t) = 2Р cos kz cos (ωt + φ) (13.11).

Описываемый процесс называется стоячей волной. Его отличительной особенностью является синфазность колебаний во всём пространстве. Действительно, фаза ωt + φ зависит только от времени и постоянна для всех z; в зависимости от z, косинусоидально изменяется амплитуда гармонических колебаний и_т = 2P cos kz. Косинусоидальное распределение вдоль оси z не движется (в отличие от бегущей волны), а испытывает синфазные гармонические колебания; при этом расстояния между соседними нулями («узлами») и максимумами («пучностями») распределения равны λ/2.

13.3. Волны затухающие, неоднородные и неплоские. Гармоническая волна (13.6) называется однородной потому, что её амплитуда и_т независит от поперечных (по отношению к направлению распространения) координат х и у, и плоской - так как для любого момента времени t = const поверхность постоянной фазы ωt – kz + φ = const (фронт гармонической волны) является плоскостью.

Плоской однородной будет, следовательно, также гармоническая волна

и(z, t) = и_т(z) cos (ωt - kz), (13.12)

амплитуда которой зависит от продольной координаты z, и, в частности, затухающая волна

u(z, t) = u_m e^-k΄΄z cos (ω t - k'z), (k">0) (13.13)

с амплитудой, уменьшающейся экспоненциально по мере ее распространения; параметр k" называется коэффициентом затухания. Формально к выражению (13.13) нетрудно придти, разыскивая решение уравнения (13.8) при комплексном k = k' - jk".

Плоской неоднородной является гармоническая волна

и(х, у, z, t) = и_т(х, у) cos (ω t - kz) (13.14)

с амплитудой, зависящей от поперечных координат; её амплитуда может быть и функцией продольной координаты, так что в (13.14) вместо и_т (х, у) будет и_т (х, у, z).

Гармоническая волна, описываемая выражением

и (х, у, z, t) = и_т (х, у, z)cos[ ω t - φ(х, у, z)],(13.15)

- неоднородная и неплоская. Её фронт, т. е. поверхность постоянной фазы в заданный момент времени, определяется уравнением

φ(x, у, z) = const. (13.16)

Например, может быть φ (х, у, z) =kr+φ₀ (φ ₀ = const), где r -сферическая радиальная координата; при этом (13.16) есть уравнение сферической поверхности kr = const. Волну такого рода называют сферической. Если же r - цилиндрическая радиальная координата, то фронт волны - цилиндрическая поверхность, и её называют цилиндрической волной.

Рассмотрим пример однородной сферической волны. Это гармоническая волна, для которой на поверхности сферического фронта амплитуда постоянна:

u (r, t) = и_т(r) cos(ω t - kr + φ₀). (13.17)

Нетрудно убедиться, что волна такого типа выражается частным решением уравнения (13.2) в сферических координатах, которое при отсутствии зависимости от угловых координат и согласно (6.21) принимает вид:

. (13.18)

Общее решение этого уравнения при гармонических колебаниях с частотой ω есть

(13.19)

(рекомендуется проделать подстановку (13.19) в (13.18) и убедиться, что уравнение удовлетворяется). Частное решение и (r, t) при В = 0 даёт волну типа (13.17).

Такая волна возникает при действии «точечного» источника в однородной изотропной среде и называется расходящейся: при распространении волны её сферический фронт расширяется. Любой участок фронта на достаточно больших расстояниях от источника близок к плоскому, так что локально сферическая волна может рассматриваться как плоская.

Частное решение, получаемое из (13.19) при А = 0, выражает сходящуюся сферическую волну: каждый её фронт, приходя из бесконечности, сужается в точку. В большинстве случаев это решение не имеет физического содержания.

Электромагнитные волны, которые будут предметом нашего внимания в курсе электродинамики, отличаются от всех рассмотренных выше тем, что они описываются векторными функциями, т. е. как говорят, являются векторными волнами. Однако им свойственны некоторые особенности, показанные здесь на примерах скалярных волн.