Интегрирование уравнения Пуассона

9.1. Функция Грина.Запишем уравнение Пуассона (7.5), обозначая неизвестную функцию и(r), а функцию, заданную в правой части, :

(9.1)

Как видно теперь, результат (8.14 а) можно истолковать в том смысле, что существует частная форма уравнении Пуассона

(9.2)

имеющая решение:

(9.3)

Последнее называют функцией Грина для уравнения Пуассона. Поскольку точку М (r')можно рассматривать в качестве переменной, то является функцией аргументов r и r΄, относительно которых она симметрична, т. е.

(9.4)

что непосредственно видно из (9.3).

Отметим, что полученная функция Грина (9.3) не является единственным решением уравнения (9.2). Действительно, вместо (9.3) можно записать решение, в виде:

(9.5)

где - любое решение уравнения Лапласа (7.1), т. е. уравнения (9.1). при f(r) = 0. Для сохранения свойства (9.4) взято симметричным относительно и

9.2. Выражение решения скалярного уравнения Пуассона. Будем теперь искать некоторый общий вид решения уравнения Пуассона (9.1). С этой целью умножим (9.1) на G(r, r') и (9.2) - на и , произведем вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений как функций по V, в результате чего получим:

Выполним здесь следующие преобразования:

а) объемный интеграл в левой части заменим поверхностным при помощи второй формулы Грина (5.14);

б) во втором слагаемом справа произведем интегрирование по формуле (8.7);

в) после этого поменяем местами обозначения и (ввиду равенства (9.4) данная операция на функцию Грина не распространяется); в знак того, что означает теперь переменную интегрирования, будем писать dv΄, ds' и v вместо dv, ds и v.

Указанные действия дают основание для записи:

(9.6)

где S - поверхность, ограничивающая рассматриваемую область V. Это и есть общее интегральное представление решение уравнения Пуассона (9.1). Как показывает формула (9.6), для того, чтобы найти решение в V при заданной правой части , надо ещё располагать информацией о поведении решения на границе S области V.

Внося в (9.6) выражение функции Грина (9.3), получаем более конкретную модификацию интегрального представления решения:

(9.7)

9.3. Решение уравнения Пуассона для неограниченного пространства.Формулы (9.6) и (9.7) справедливы независимо от того, существует ли решение только в области V с границей S, или V произвольным образом выделена внутри более широкой области, в которой определено решение.

Пусть решение и(r) определено во всём неограниченном пространстве, а функция отлична от нуля только внутри некоторой ограниченной области. Тогда в (9.7) можно распространить интегрирование на всё пространство, отнеся границу S в бесконечность, однако под V для первого члена справа, в сущности, надо понимать лишь ту область, где .Наиболее интересен класс задач для которых решение при r →∞ убывает не медленнее, чем 1/ r (как говорят, «регулярно в бесконечности»); при этом отношение к 1/r при r →∞ остается ограниченным, что обозначается символом . Относя границу S в бесконечность, будем представлять её как сферическую поверхность неограниченно возрастающего радиуса r' с центром в начале координат.

Тогда поверхностный интеграл в (9.7) принимает вид:

поскольку v ' = r΄. А так как для всякой фиксированной точки будет и , и кроме того

и ,

то интегрируемая функция есть величина , в то время как дифференциал ds' пропорционален r'². Это значит, что весь поверхностный интеграл, будучи величиной 0(1/ r '), при исчезает. Поэтому решение уравнения Пуассона в рассматриваемом случае дается формулой (9.7) при отбрасывании поверхностного интеграла:

(9.8)

Легко видеть, что решение, действительно, принадлежит требуемому классу, т. е. .

9.4. Векторное уравнение Пуассона. Запишем векторное уравнение Пуассона

(9.10)

и посмотрим, каким образом можно применить полученные выше результаты для нахождения его решения в случае неограниченного пространства. Проецируя векторные функции на оси декартовой системы координат, получаем три скалярных уравнения Пуассона:

(9.10)

Если известно, что компоненты вектора при r→∞ убывают не медленнее, чем 1/r, то каждая из них выражается формулой (9.8). Таким образом,

откуда получаем:

(9.11)

что совпадает по форме с (9.8).