Глава 2. Уравнения Лапласа и Пуассона

В уравнения Максвелла входят плотность заряда ρ и плотность тока проводимости , а также другие функциями плотности, например, плотности мощности p, плотности энергии ω и т. д. Эти функции определяются предельными выражениями, которые имеют вполне ясный смысл при плавно меняющихся, как говорят, гладких (дифференцируемых) распределениях заряда, тока и иных физических величин. Но как, например, охарактеризовать при помощи функции ρ идеальный точечный заряд, который занимает исчезающе малый объем, а, следовательно, должен иметь бесконечную плотность в точке? На этот и подобные вопросы, касающиеся дискретных распределений, дает ответ аппарат дельта-функции Дирака. Этот аппарат будет использован, в частности, при интегрировании уравнения Пуассона.

Рассмотрение граничных задач для уравнения Лапласа понадобится для правильного суждения о содержании важных классов задач электростатики.

Наконец, излагаемый в данной главе метод разделения переменных применяется далее к самым различным задачам теории электромагнетизма.

Дельта-функция Дирака

8.1. Первоначальное понятие. Рассмотрим функцию F(x), изображаемую в виде «импульса»:

F(х) = 0 при х < - Δ х и при х > Δ х, причём

(8.1)

Введём новую функцию δ(х)как предел

(8.2)

В частности, при задании F(x) в виде прямоугольного импульса она равна:

(8.3)

Функция δ (х), как видно, равна нулю везде кроме исчезающе малой окрестности точки х = 0, где она неограниченна. С точки зрения классического математического анализа, рассмотрение δ(х) затруднительно, следовало бы сказать, что предел (8.2), (8.3) не существует.

Тем не менее, произведенные рассуждения наводят на мысль о существовании особого математического объекта, называемого дельта-функцией Дирака (по имени известного физика). В качестве определения дельта-функции δ(х) обычно рассматривают следующее интегральное соотношение

(8.4)

где f(x) - обычная функция. При этом для всякого ограниченного отрезка

(8.5)

В частности, при f(x) = 1

(8.4а)

(8.5а)

Вернёмся теперь к формулам (8.1) - (8.3), чтобы убедиться, что интуитивный образ, к которому они приводят, соответствует определению дельта-функции. Согласно (8.2), (8.3) δ (х)= 0 везде кроме точки х = 0 (соответственно везде кроме точки при сохранении интеграла (8.1). Это отвечает соотношениям (8.4 а), (8.5 а). Что касается формул (8.4) и (8.5), то всю область интегрирования, когда она включает точку х΄ можно заменить отрезком ΔL, покрывающим х' и настолько малым, что функцию f(x) на нем можно считать постоянной и равной f(x'). Поэтому

.

8.2. Обобщение и примеры. Всё cказанное нетрудно обобщить, например, на функцию трёх переменных. Взяв вместо отрезка L пространственную область V, будем обозначать задаваемые нам функции как /(г) (§ 2, п. 1). Аналогично (8.1) можно рассматривать функцию F(r) такую, что

при

и в том же смысле, что и в (8.2), говорить о предельном случае