Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-12 | 338 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
5.1. Оператор Гамильтона. В векторном анализе широко используется так называемый оператор Гамильтона «набла»
(5.2)
Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной, так и над векторной функцией. В первом случае имеем:
т. е.
(5.3)
Что касается действия на вектор, то здесь существенна векторная структура самого оператора, позволяющая понимать это действие двояко. Во-первых, очевидно, можно строить по формальному правилу составления скалярного произведения двух векторов (1.4), принимая операторы дифференцирования д/дх, д/ду и д/дz за компоненты вектора. Это дает:
Как видно,
. (5.4)
Но можно рассматривать и «векторное произведение» оператора на вектор :
что даёт ротор вектора:
. (5.5)
Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа. При выполнении различных действий его следует понимать как вектороподобный комплекс обычных дифференциальных операторов д/дх, д/ду и д/дz. Однако, обращаясь с формально как с вектором, надо помнить, что не имеет смысла дописывание этого оператора справа (например, или ), поскольку бессмысленны выражения типа в отличие от .
Пользуясь формулами (3.7) и (2.5), нетрудно образовать дивергенцию градиента некоторой скалярной функции:
(5.6)
Запишем это с использованием оператора Гамильтона:
(5.6а)
Оператор (его обозначают также Δ) называется оператором Лапласа. Это один из важнейших операторов математической физики. Он применяется и к векторным функциям, при этом
. (5.7)
5.2. Тождества векторного анализа. В § 4 п. 3 были получены два важных тождества векторного анализа (4.4) и (4.5), т. е. равенства, справедливые для любых функций, к которым их применение осмысленно (в данном случае требуется существование частных производных второго порядка) и компонент . Запишем ещё некоторые тождества, часто применяемые в теории электромагнетизма.
|
Следующие четыре тождества векторного анализа имеют значение правил дифференцирования произведения функций:
, (5.8)
, (5.9)
(5.10)
. (5.11)
Вывод их весьма прост с использованием векторного дифференциального оператора «набла». При этом необходимо использовать обычные правила дифференцирования произведения. Например,
Здесь индексы операторов «набла» условно показывают, на который из двух сомножителей они действуют. В последующем эти индексы опущены за ненадобностью.
Ещё одно часто используемое тождество имеет вид:
(5.12)
Его можно получить, в частности, из формулы (1.9) при помощи оператора Гамильтона, соблюдая правила применения последнего. Перепишем сначала (1.9) в виде:
(существен порядок сомножителей скалярных произведений). Полагая теперь , имеем:
,
что совпадает с (5.12), если учесть (5.3) и (5.4).
С помощью оператора Гамильтона легко доказываются также другие полученные ранее тождества (4.4), (4.5):
Последнее равенство можно трактовать физически так: «вихрь не растекается».
5.3. Теорема Грина. Вернёмся к рассмотренной ранее теореме Остроградского-Гаусса. Положив и учитывая, что согласно (5.9)
,
имеем из (3.8):
(5.13)
Здесь применён оператор Гамильтона и учтено, что Полученный результат выражает теорему Грина; равенство (5.13) называют также первой формулой Грина.
Получим, далее, вторую формулу Грина. Для этого надо сначала переписать первую формулу Грина, поменяв в ней местами функции ψ и φ, а затем вычесть новое равенство из первоначального. В результате находим:
Поскольку полученные соотношения есть следствия теоремы Остроградского-Гаусса, то о границах применимости обеих формул Грина можно повторить всё сказанное выше в п. 1. В частности, векторные функции и должны быть однозначными; в противном случае требуется преобразование области интегрирования.
|
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!