История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-12 | 448 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Свойства корреляционных функций случайных процессов
С непрерывным временем.
В этом разделе мы подробно изучим введенную в п.п. 1.1 корреляционную функцию случайных процессов . Напомним, что корреляционная функция случайного процесса – это функция двух аргументов:
(4.1)
На практике часто используют нормированную корреляционную функцию
(4.2)
Последняя функция удобна тем, что ее значения находятся в пределах ± 1 и, следовательно, по абсолютной величине можно судить о степени связности (зависимости) двух ординат случайного процесса.
Непосредственно из определения корреляционной функции (4.1) следует, что корреляционная функция симметрична
(4.3)
Это обстоятельство позволяет ограничиться областью аргументов t≥ s или s ≥ t. Корреляционная функция случайного процесса удовлетворяет неравенству
(4.4)
Корреляционная функция обладает очень важным свойством, позволяющим существенно облегчить анализ случайных процессов, свойством положительной определенности [6 ]. Смысл этого свойства в следующем. Рассмотрим интеграл
(4.5)
где - некоторые произвольные функции.
Подставив в (4.5) выражение корреляционной функции (4.1), меняя местами операции интегрирования и математического ожидания, получим
где
Последнее выражение можно записать теперь в виде:
Но математическое ожидание неотрицательной величины не может быть отрицательным и, следовательно, при любой области интегрирования Т и при любой функции интеграл (4.5) не меньше нуля. Функция , обладающие таким свойством, называются положительно определенными функциями.
Сложение случайных процессов.
Рассмотрим сумму двух случайных процессов, зависящих от одного и того же аргумента t:
|
(4.6)
Найдя математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса , полагая, что корреляционные функции и математические ожидания процессов и известны. По теореме сложения математических ожиданий [ 1 ] имеем
(4.7)
По определению корреляционная функция (t, s) равна
или
(4.8)
В общем случае при суммировании произвольного числа случайных функций xi (t) с весами ai имеем
(4.9)
Математическое ожидание Z (t) равно
(4.10)
Корреляционная функция Rz (t, s) определяется из выражения
(4.11)
Сумма в этой формуле содержит корреляционные функции R i i (t, s) и все возможные взаимные корреляционные функции.
Дифференцируемость выборочных функций случайного
Процесса
Для доказательства ряда теорем, связанных со свойствами случайных функций, нам необходимо определить среднеквадратической сходимости [ 1].
Определение 4.1.
Последовательность случайных величин x1, x2, … xn сходится в среднеквадратическом, если
(4.12)
Случайную величину x называют пределом в среднеквадратической последовательности случайных величин x1, x 2, … xn и пишут
Среднеквадратическая сходимость обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Если {xn},{xm} – последовательности случайных перемен-ных, такие, что М { (xn-xm)2 }→ 0 при (m – n) → 0, то существует х такое, что x n → х в среднеквадратическом при n→ ∞
Свойство 2. Пусть {xn} – последовательность случайных переменных. Предположим, что М { xn2 } < ∞ и x n → х в среднеквадратическом при n→ ∞.
Тогда
Свойство 3 Пусть x n → х, y n → y в среднеквадратическом и М
{ xn2 } < ∞ и
М { y 2 } < ∞, тогда
Введем теперь определение непрерывности случайного процесса.
Определение 4.2.
Случайный процесс второго порядка непрерывен по t в среднеквадратическом, если
(4.13)
Следующая теорема дает удобный критерий определения непрерывности случайных процессов.
|
Теорема 4.1.
Случайный процесс второго порядка непрерывен в среднеквадратическом для тогда и только тогда, когда функция непрерывна по и корреляционная функция непрерывна на диагонали
Доказательство.
Имеем
(4.14)
Возьмем математическое ожидание от обеих частей и найдем
Если и - непрерывные функции, то
и, следовательно,
Необходимость условий теоремы доказана.
Для доказательства достаточности заметим, что из свойства 3 корреляционной функции следует, что
таким образом, правая часть выражения (4.14) есть сума неотрицательных величин. Если левая часть равенства сходится к нулю, то каждый член правой части также сходится к нулю и, таким образом, непрерывность процесса в среднеквадратическом означает непрерывность . Для доказательства достаточности, заключающейся в непрерывности корреляционной функции, рассмотрим
Так как и - непрерывные функции
Используя равенство убеждаемся, что
Определим теперь дифференцируемость случайной функции.
Определение 4.3.
Случайный процесс второго порядка дифференцируем в среднеквадратическом в точке если существует предел
если процесс дифференцируем для всех и почти для всех , то говорят, что это дифференцируемый случайный процесс.
Следующая теорема часто используется при определении дифференцируемости случайного процесса.
Теорема 4.2. Случайный процесс второго порядка дифференцируем в среднеквадратическом в тогда и только тогда, когда дифференцируема в точке и в точке существует вторая смешанная производная от корреляционной функции
Для доказательства необходимости рассмотрим предел выражения
при .
Сформируем последовательность Коши: (4.16)
Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства, получим:
Если - дифференцируемая функция и существует, то
.
Вычислив все три члена выражения (4.16),найдем что
при
Положим теперь, что и отметим, что правая часть выражения (4.16) есть сумма двух неотрицательных членов. Если левая часть сходится к нулю, каждый член правой части также будет сходиться к нулю.
Доказательство закончено. Непосредственно из теоремы следуют два следствия, которые могут быть полезными при анализе случайных процессов.
Следствие 1. Если случайный процесс дифференцируем, то
|
где (4.17)
Следствие 2. Если случайный процесс стационарен в широком смысле, то
(4.18)
Следовательно, для того чтобы стационарная случайная функция была дифференцируема, достаточно существования второй частной производной при нулевом значении ее аргумента.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!