Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-12 | 176 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Стационарное распределение.
Рассмотрим марковскую непериодическую цепь с конечным числом состояний.
Определение 2.9.
Распределение вероятностей { Рκ} называется стационарным, если
(2.10)
Иными словами, стационарным распределением Рκ называется распределение инвариантное относительно матрицы преобразований .
Если начальное распределение {а κ } стационарно, то абсолютные вероятности { } не зависят от времени, т.е. = .
Неприводимая цепь Маркова принадлежит к одному из следующих двух классов:
а) или все состояния невозвратные, или все состояния нулевые. В этом случае при n → для любой пары индексов , и не существует стационарного распределения;
б) или все состояния эргодические, т.е.
(2.11)
где u к- величина, обратная среднему времени возвращения в состояние R.
В этом случае { u к } – стационарное распределение и не существует никаких других стационарных распределений.
Докажем теорему о стационарных распределениях марковских цепей.
Теорема 2.3. Если для марковской цепи существует стационарное распределение, то оно единственно и для любого начального распределения
{ } справедливо:
(2.12)
в противном случае → 0 при n → .
Для доказательства заметим, что ∑ ≤ 1. Это следует непосредственно из того, что при фиксированных j и n величины:
, к = 1, 2,… в сумме равны единице, так что u 1+ u 2 +…+ u N ≤ 1 при любых N. Вероятность перехода , как это было показано в п. 2.2.1, равняется . Если n = 1 и m → ∞, то стремится к , а слагаемые правой части стремятся к . Сложив произвольное количество членов, убеждаемся, что ≥ . Суммируя эти неравенства по всем R, мы получаем в каждой из частей неравенства конечную величину ∑ . Это показывает, что знак неравенства невозможен и, таким образом, = ∑ Рj k. Положив , видим, что распределение { } стационарно и, значит, по крайней мере, одно такое распределение существует.
|
Пусть теперь { } – произвольное распределение, удовлетворяющее (2.10). Умножая это соотношение на и суммируя по всем j, получим по индукции, что при любом n . Устремив n к бесконечности, в пределе получим , т.е. распределение { } единственно.
Если все состояния или невозвратные, или нулевые, а распределение { } стационарно, то уравнение по - прежнему имеет место. В то же время → 0, что, очевидно, невозможно. Поэтому стационарное распределение может существовать только в эргодическом случае, и теорема доказана полностью.
ПУАССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ПРИМЕРЫ ПУАССОНОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В АСУ.
Математической моделью, часто используемой для анализа и интерпретации процессов в АСУ является пуассоновский процесс. К пуассоновским процессам приводят задачи, рассмотренные в следующих примерах.
Пример 3. В таблице 1 приведены данные от отказах электронной вычислительной машины в виде наблюдаемых моментов времени отказов t1, t2, ..., t n [3]. Другим способом задания такого процесса является построение графика числа накопленных отказов – функции N (t). График для числа накопленных отказов электронной вычислительной машины представлен на рис. 4.
Пример 4. В качестве второго примера рассмотрим вычислительную систему, функционирующую в режиме реального времени. В этой системе задания на обработку поступают в ЭВМ от терминалов по линиям связи от удаленных пользователей. Так как пользователи независимы, они инициируют задания в произвольные моменты времени. Если первое задание пришло в момент t1, второе – в момент t2 и т.д., то этот поток заданий можно описать с помощью функции N (t), соответствующей числу заданий, поступивших к моменту времени t.
Таблица 1.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!