Основные свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору в том и только в том случае, когда эти векторы параллельны. Из этого свойства следует, что векторное произведение любого вектора на самого себя, т.е.

2. Векторное произведение двух векторов антикоммутативно, а именно:

3. Векторное произведение обладает свойствами сочетательности относительно числового множителя:

, т.е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число достаточно умножить на это число один из сомножителей.

4. Векторное произведение векторов обладает распределительным свойством относительно векторов, т. е.

.

5. Если векторы перпендикулярны, то

Векторное произведение векторов = и = в координатной форме вычисляется по формуле:

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор . Обозначается () .

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов дается в следующей теореме.

Теорема 1. Смешанное произведение некомпланарных векторов , и по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Теорема 2. Смешанное произведение векторов , , положительно, если тройка векторов , , правая и отрицательно, если она левая.

Действительно, по определению .

Поэтому знак смешанного произведения зависит от знака cosj. Если теперь тройка векторов правая, то векторы и образуют острый угол и cosj > 0. Если же тройка векторов левая, то векторы и образуют тупой угол cosj < 0.

Теорема 3. Смешанное произведение векторов , , равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Смешанное произведение векторов = , = и = в координатной форме есть определитель: = .

Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, через две точки, в отрезках, общее уравнение.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим в двумерном пространстве (т.е. на плоскости) прямую линию не параллельную оси OY.

Обозначим угол наклона прямой к оси OX через и . Пусть точка М(x,y) произвольная точка прямой. MD=y-b; BD=x.

Из прямоугольного треугольника BDM имеем или или (4.8)

Определение. Тангенс угла наклона прямой к оси OX называется угловым коэффициентом прямой

и обозначают . Формулу (4.8), на основании данного определения, можно записать в виде:

y-b=kx или y=kx+b (4.9)

В случае b=0, прямая y=kx проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки М₁ и М₂ и требуется написать уравнение прямой проходящей через две данные точки. Тогда, очевидно в качестве точки, лежащей на прямой можно взять любую из двух данных точек. Возьмем, например, точку М₁. За направляющий вектор примем вектор . Тогда, если рассмотреть точки на плоскости, то М1(x₁,y₁) и М2(x₂,y₂) и ={x₂-x₁,y₂-y₁} и уравнение имеет вид: – каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дана прямая линия, которая не проходит через начало координат и отсекает от координатных осей соответственно отрезки a и b, где a=вел.ОМ, b=вел.ОN.

Покажем, что уравнение этой прямой можно записать в виде (4.11)

Действительно напишем уравнение прямой в общем виде
Ax+By+C=0 (4.12)