История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-10 | 160 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит Q (множество рациональных чисел).
Пример поля отличного от Q, R и C:
K = {a+b , где a и b }.
Тема 2. Матрицы и определители.
Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
Пусть К ≠ Æ. Рассмотрим прямоугольную таблицу из n строк и m столбцов, состоящую из элементов К
(1)
aij — произвольный элемент таблицы, где i — номер строки, j — номер столбца, aij Î К " i,j. Таблицу (1) назовем матрицей размером n x m. Краткая запись (aij)n x m. В будущем будем рассматривать (1) над числовыми полями. Матрицы будем обозначать A,B,C, а их элементы соответственно aij, bij, cij.
Определение 1. Две матрицы (aij), (bij) одинаковых размеров будем называть равными, если aij = bij " i,j.
Определение 2. Матрица называется квадратной, если m=n.
Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны 0.
Пример:
Определение 4. Диагональная матрица, все элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.
Скалярная матрица, у которой элемент, стоящий на диагонали равен 1, называется единичной.
Пример:
Сложение матриц и их свойства.
Пусть n и m — фиксированные натуральные числа. Рассмотрим множество матриц над некоторым числовым полем Р размером n x m, обозначим его Рn x m.
Определение 5. Возьмем две матрицы A, BÎ Рn x m. Под суммой матриц A и B (обозначают А+В) понимают матрицу С Î Рn x m такую, что cij =aij + bij. для всех i=1,…,n; j=1,…,m.,т.е. чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.
Свойство 1. Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С = А + (В+С) и коммутативно, т.е. А+В=В+А, .
¢ Доказательство следует из соответствующих свойств для чисел. £
|
Свойство 2. Если нулевую матрицу прибавить к произвольной матрице тех же размеров, то последняя не изменится.
Свойство 3. Для любой матрицы A Î Рn x m $ B Î Рn x m такая, что А+В=0. Такая матрица В называется противоположной к матрице А.
Умножение матрицы на число и его свойства.
Определение 6. Пусть А Î Рn x m, a Î Р — произвольный элемент поля Р. Под произведением aА понимают матрицу В тех же размеров такую, что bij = a aij.
Свойство 1. 1А = А .
Свойство 2. (a+b) А = aА + bА. (Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел) .
Свойство 3. a (А + В) = aА + aВ. (Умножение числа на сумму матриц дистрибутивно относительно сложения матриц) .
Свойство 4. (ab) А = a (bА) .
¢ Доказательство проводится сравнением элементов матриц левой и правой частей равенства. Например, рассмотрим свойство 2. Известно, что (a+b)aij = a aij + b aij, где aij — произвольный элемент матрицы А,(дистрибутивность умножения относительно сложения элементов поля). £
Умножение матриц.
Мы никак не мотивировали операцию сложения матриц, но едва ли это вызвало недоумение в силу своей естественности. Операция умножения матриц уже не обладает этим качеством.
Пусть A = (aij)m x n, B = (bij)n x p. Под произведением АВ понимают
матрицу С с элементами cij =.
АВ:= С= (сij)m x p.
Например, А = и В =.
Тогда AВ =
5=1 · 0 + 2 · 1 + 3 · 1
6=1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1
7= 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 1 и т.д.
Берется i-тая строка матрицы А и j-тый столбец матрицы В, перемножаются покомпонентно и результаты складываются. Это есть элемент матрицы С на позиции i,j.
Свойство. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА, в том числе и квадратных.
Пример (доказывающий свойство):
=
=
Замечание 1. Запись A = (aij)m x n обозначает, что матрица А имеет размеры
m x n.
Замечание 2. В двойной сумме результат суммирования не зависит от порядка суммирования, т.е.
, ибо левая часть равенства и правая часть есть сумма элементов матрицы .
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!