Определитель произведения квадратных матриц.

Теорема. Пусть А и В — две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

¢ Пусть A = (a_ij)_{n x n} , B = (b_ij)_{n x n}. Рассмотрим определитель d_2n порядка 2n

A

||

 

 

 

d_2n =

 

||

B

 

d_2n = | A | | B | (-1) ^{1 +... + n + 1 +... + n} = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель d_2n равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В d_2n проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а₁₁; (n+2) строку, умноженную на а₁₂ и т.д. (2n) строку, умноженную на а_1n. В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ +... + a_1nb_n1 = c_11;

a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ +... + a_1nb_n2 = c_12;

_...

a₁₁b_1n + a₁₂b_2n +... + a_1nb_nn = c_1n.

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя d_2n, причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель d_2n преобразуется в равный ему определитель:

 

 

d_2n = | C | (-1) ^{1 +... + n +... + 2n} = |AB|. £

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

¢ Доказательство проводится индукцией: | A₁ ... A_i+1 | = | A₁... A_i | | A_i+1 | =... = = | A₁|... | A_i+1 |. Эта цепочка равенств верна по теореме. £

 

 

Обратная матрица.

Пусть A = (a_ij)_{n x n} квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть А Î P_n. Матрицу В Î P_n будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы). Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

¢ Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА^-1 = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A^-1 | = | E | или | A | | A^-1 | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Пусть, обратно, | A | ¹ 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

 

 

В =,

 

где А_ij — алгебраическое дополнение к элементу а_ij. Тогда

 

 

АВ =

 

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа § 6), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. £

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

 

А =

 

 

det A = -3 обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А₁₁ = -3 А₂₁ = 0 А₃₁ = 6

А₁₂ = 0 А₂₂ = 0 А₃₂=-3

А₁₃ = 1 А₂₃ = -1 А₃₃ = -1

 

Итак, обратная матрица имеет вид: В = =

 

 

Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы А.

1. Вычисляем det A.

2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен 0, считаем алгебраические дополнения.

3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.

4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.

Упражнение 1. Выяснить, однозначна ли обратная матрица.

Упражнение 2. Пусть элементы матрицы А — целые рациональные числа. Будут ли элементы обратной матрицы целыми рациональными числами?

 

Системы линейных уравнений.

 

Определение 1. Уравнение вида a₁x₁+....+a_nx_n=b, где a,...,a_n — числа; x₁,...,x_n — неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.

s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.

 

(1)

 

 

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).

.

 

Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).

 

 

X = — столбец неизвестных.

 

— столбец свободных членов.

В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).

Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α₁ ,…, α_n) таких, что если сделаем подстановку в (1) x₁ = α₁, x₂ = α₂ ,…, x_n = α_n, то мы получим числовые тождества.

Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.

Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Существует универсальный способ решения системы (1) — метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных), см. [1], стр.15.

Рассмотрим более подробно случай, когда s = n. Существует метод Крамера решения таких систем.

 

 

Пусть d = det,

 

 

d_j — определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d ¹ 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:

x₁ = d₁ / d …x_n = d_n / d

¢Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

X = , B =

и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B — матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.

Связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что является решением данной системы тогда и только тогда, когда

столбец есть решение уравнения (2).

Действительно, это утверждение означает выполнение равенства

=

 

 

= .

 

Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств

 

которое означает, что — решение системы (1).

Итак, решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2). Так как определитель d матрицы А отличен от нуля, она имеет обратную матрицу А^-1. Тогда АХ = В А^-1(АХ) = А^-1В (А^-1А)Х = А^-1В ЕХ = =А^-1В Х = А^-1В (3). Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, А(А^-1В) = (АА^-1)В = ЕВ = В.

Поэтому Х = А^-1В есть единственное решение уравнения (2).

 

Так как ,

 

где А_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе d, то

 

= ,

 

 

откуда (4).

В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя d_j, который получается из определителя d после замены в нем

j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, x_j = d_j / d. £

Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.

 

 

 

ТЕМА 3. Многочлены от одной переменной.