Теорема (о делении с остатком).

Для любых a, bÎ Z; b ¹ 0 существует единственная пара q, rÎ Z такая, что a = bq+r, 0£ r<|b|.

Доказательство: Р ассмотрим множество M = {a – bq, qÎZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}¹Ø.

В любом таком множестве $ наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.

Докажем единственность.

Пусть ещё a = bq₁ + r₁. Тогда вычитанием из первого второе получим

0 = b(q – q₁) + r – r₁. Отсюда следует, что r – r₁ кратно b, но |r – r₁|<|b|.

Следовательно, r – r₁ = 0, а поэтому и q – q₁ = 0.

Упражнение. Доказать теорему о делении с остатком геометрически (использовать геометрическую интерпретацию чисел).

Следствие из теоремы.

b делит a тогда и только тогда, когда r = 0 (b|a Û r = 0);

r называют остатком, а q – частным.

Построение комплексных чисел.

Уравнение x²+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x²+1=0 имело решение.

В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z₁, z₂,…, z_n. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bÎR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.

z (a, b), где – равно по определению.

Введём операции сложения и умножения точек плоскости.

Определение 1. Под суммой точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁+z₂ (a+c, b+d).

Определение 2. Под произведением точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁z₂ (ac–bd, ad+bc)

Теорема 1.

1) z₁+z₂=z₂+z₁ — коммутативность сложения;

2) (z₁+z₂)+z₃= z₁+(z₂+z₃) — ассоциативность сложения;

3) z₁z₂= z₂z₁ — коммутативность умножения;

4) (z₁z₂)z₃= z₁(z₂z₃) — ассоциативность умножения;

5) (z₁+z₂)z₃ = z₁z₃+z₂z₃ — дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для любых z₁, z₂, z₃.

Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3):

z₁z₂ = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z₂z₁ Þ z₁z₂= z₂z₁.

Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.

Определение 3. Под разностью точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z₂+ z = z₁, т.е.

z₂+z = z₁ Û Þ

z₁–z₂ = (a – c, b – d).

Определение 4. Пусть z₁ = (a, b), z₂ = (c, d), z₂ ¹ (0, 0).

Частным двух точек z₁ и z₂ называют точку z = (x, y) такую, что z₂z = z₁, т.е.

Þ

x = ; y = .

Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z₁ = (a, b) будет точка z₂ = (–a, –b).

Упражнение. Найти обратную точку для точки z₂ = (c, d)≠(0,0).

Множество точек плоскости с так введёнными операциями сложения, умножения, вычитания и деления называют множеством комплексных чисел и обозначают C.

Точки с координатами (a, 0) на оси Ox и

(a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

По своим свойствам множество таких точек ничем не отличаются от R, поэтому будем отождествлять (a, 0) и a. После этого отождествления множество C содержит R (C É R).

В множестве C имеет решение уравнение x²+1=0.

Это точка с координатами (0, 1): (0, 1) (0, 1) = (–1, 0).

Точка (0, 1) — обозначается i и называется мнимой единицей. Очевидно, что

(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(b, 0)(0, 1) = a+bi, где a+bi — алгебраическая форма комплексного числа.

Замечание. Введенные ранее операции над комплексными числами приспособлены к алгебраической форме записи комплексного числа. Например, для умножения двух чисел имеем:

(a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+bdi²=(ac–bd)+i(ad+bc).

Пусть z = a+bi, тогда:

a = Re z — действительная часть комплексного числа,

b = Im z — мнимая часть комплексного числа.

Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.

Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).

Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).

Упражнение 1. Сумма и произведение двух комплексных чисел z и (сопряжённых) — действительное число.

Теорема 2.

Справедливы следующие соотношения:

1) = + ;

2) = – ;

3) = ;

4) = .

Доказательство.

Доказательство 1) – 4) однообразно и сводится к подсчёту левой и правой частей и их сравнению. Например: z₁=a+bi, z₂=c+di. Докажем

1) = + . По определению

= a-bi; =c-di и

= (a+c)–(bi+di),

+ = (a–bi)+(c–di) = (a+c)–(bi+di).

Значит = + .

 

§3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

 

Пусть z = a+bi, полагаем r =|z|, r — модуль комплексного числа z.

a+bi = , положим

= cos и = sin .

Пусть z¹0, тогда угол j определен однозначно с точностью до 2pk. Если 0£j£2p, то он определен однозначно. Угол j называют аргументом комплексного числа z, r и j — полярные координаты точки.

Из тригонометрии мы знаем как искать j, если известно a и b.

Если r=0, то j может быть любой, то есть аргумент нуля не определён; r¹0, то аргумент определен с точностью до 2πk.

z = r(cosj+i sinj) (1)

Назовем выражение (1) тригонометрической формой комплексного числа.

Если два комплексных числа равны, то их модули равны, а их аргументы, вообще говоря, отличаются на 2pk.

Теорема 1.

Пусть z₁ = r₁ (cosj₁+i sinj₁), z₂ = r₂ (cosj₂+i sinj₂). Тогда:

1) z₁z₂ = r₁r₂(cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂))

(модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов);

2)

(модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов).

Доказательство:

Докажем 1).

z₁z₂ = r₁r₂(cosj₁cosj₂– sinj₁sinj₂+i(sinj₁cosj₂+cosj₁sinj₂)) = =r₁r₂cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂)).

Аналогично с частным.

Следствие 1.

Пусть z = r (cosj+i sinj), тогда z = (cos(–j)+i sin(–j)).

Доказательство:

z = = = = (cos(–j)+i sin(–j)).

Следствие 2 (формула Муавра).

Пусть z = r (cosj+i sinj). Тогда zⁿ = rⁿ(cos(nj)+i sin(nj)) для любого nÎZ.

Доказательство:

Если n — натуральное, то формула Муавра следует из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Если n — отрицательное, то можно представить zⁿ = (z ^-1)^-n и применить следствие (1) и доказанную формулу Муавра для nÎN.