Аксиомы сложения и умножения вероятностей

Суммой (объединением) конечного числа событий А₁+ А₂ +_.. называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Если события объединяемые события несовместны (никакие 2 из них не могут произойти одновременно), то вероятность их объединения равна сумме вероятностей объединяемых событий.

(2)

Пусть события A_1, A_{2, …}A_N образуют полную группу. Тогда объединение событий полной группы является событием достоверным и для нее справедливо равенство:

Р (А₁) + Р (А₂) +…Р (A_N) = 1 (3)

Если в систему входят только два взаимно противоположных события , то

(4)

Пример 3. Известно, что стрелок попадает в цель в 98% выстрелов. Найти вероятность того, что в первом же испытании он промажет.

Решение. Так как в испытании возможно только 2 исхода «попал – не попал», то по формуле 4 вероятность промаха будет равна 100% - 98% = 2% или 0, 02.

 

Пример 4. В урне 10 белых, 15 черных 20 синих и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что вынутый шар: А – белый или черный, В - белый, красный или синий.

 

Решение. Используем формулу 2, предварительно подсчитав нужные вероятности по формуле 1. Здесь n =70, и

Р(Бел.)=10/70, P(Чер.)=15/70, Р(Крас.) = 25/70, Р(Син.)=20/70.

Тогда Р(А)= Р(Бел)+P(Чер)= 10/70 +15/70 = 25/70 = 5/14.

Р(В)= Р(Бел)+P(Крас) +Р(Син)=10/70 +25/70 + 20/70 =55/70 = 11/14

 

Произведением событий А и В называется новое событие, состоящее в том, что они произойдут одновременно или последовательно.

Последнее обстоятельство приводит к понятию независимых и условно зависимых событий.

Два события называются независимыми друг от друга, если вероятность появления второго не зависит от вероятности появления первого. Эти вероятности называются безусловными.

Т.1. Вероятность произведения независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

. (5)

Эта формула справедлива для любого числа сомножителей.

Пример 4. Вероятности того, что в течении часа три станка не потребуют внимания наладчика равны соответственно Р₁= 0,9; Р₂= 0,8; Р₃= 0,7. Найти вероятности того, что в течение часа ни один из станков не потребует внимания наладчика.

Решение. Так как все станки работают независимо друг от друга, то по формуле 5

Пример 5. Какова вероятность того, что при 5-кратном бросании монеты герб выпадет 5 раз?

Решение. Вероятность выпадения герба при одном испытании равна 0,5. Поскольку все испытания не зависимы друг от друга, то искомая вероятность по ф.5. будет равна Р(А) = (0,5)⁵ = 0,03125.

В ряде случаев вероятность появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Такие события называются зависимыми. Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается или .

Т.2. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже имело место:

. (6)

Эта формула верна для любого числа сомножителей.

Пример 6. Найти вероятность того, что 3 подряд вынутые из колоды карты будут десятками.

Решение. Вероятность того, что первая из карт будет десяткой рана 4/36. Для второй она будет равна 3/35, для третьей - 2/34. Требуемая вероятность определится по формуле 6:

Рассмотрим теперь независимые события, объединенные одним опытом. Их называют совместными. Примером таких событий могут служить стрелки, участвующие в одних соревнованиях, и попадающих в цель с разными вероятностями; станки, работающие в одном цехе и, независимо друг от друга требующие внимания наладчика так же с независимыми вероятностями. И так далее. В этом случае применяют все аксиомы о сумме и произведении вероятностей.

Т.3. Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(7)

Пример 7. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7. Какова вероятность поражение цели?

Решение. Пусть A ₁={первый стрелок попал по цели}, A ₂={второй стрелок попал по цели}. Мишень будет поражена, если произойдет событие А ₁+ А ₂. Поскольку события А ₁ и А ₂ совместны и независимы, то по формуле 7 о сумме вероятностей получим:

P (А ₁+ А ₂) = P (А ₁)+ P (А ₂) – P (А ₁) P (А ₂) = 0,7 + 0,8 - 0,7×0,8 = = 0,94.

Эту задачу можно решать по-другому, используя формулу 2 о сумме вероятностей. Событие В можно записать в виде . Тогда получим

P (B) = P (A ₁) P ()+ P () P (A ₂)+ P (A ₁) P (A ₂) = 0,8×0,3+0,2×0,7+0,7×0,8 = 0,94.

Ответы, естественно, получаются одинаковыми.

В жизни, производстве часто возникают такие ситуации, когда нужно вычислить вероятность появления хотя бы одного события из некоторого набора возможных событий. Например, если по цели был сделан залп из нескольких орудий, то интерес представляет вероятность того, что цель будет поражена, т.е. что будет хотя бы одно попадание.

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,…, A_n равна разности между единицей и вероятности совместного появления противоположных событий:

. (8)

Если события A₁, A₂,…, A_n независимы и их вероятности одинаковы, т.е.

и , то

(9)

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p ₁ = 0,8, p ₂ = 0,7, p ₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Решение. Поскольку вероятности попаданий независимы и q ₁ = 1– p ₁ = 0,2, q ₂ = 1– p ₂ = 0,3, q ₃ = 1– p ₃ = 0,1, то искомая вероятность равна

P (A) = 1– q ₁ q ₂ q ₃ = 1–0,006 = 0,994.

Задания для самоконтроля

1. В ящике 10 одинаковых перенумерованных книг. Вынули одну из них Какова вероятность, что номер вынутой книги не превышает 10?

2. В урне 5 синих и 10 красных шаров. Какова вероятность вынуть белый шар?

3. Монета брошена 3 раза. Какова вероятность, что все три раза выпадет герб?

4. В лотерее разыгрывается 100 билетов, из них 30 выигрышных. Куплено 2 билета. Какова вероятность того, что они выигрышные?

5. В группе 25 человек. По контрольной работе трое из них получили «5», шестеро – «4», и восемь – «3». Какова вероятность того, что 3 ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки?

Ответы. 1) 1, 2) 0, 3) 4) =0,0879.. 5)

Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов из некоторого множества в соответствии с каким-либо правилом.

Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.

Будем переставлять их, оставляя общее количество постоянным. Каждая из полученных комбинаций называется перестановкой.

Число перестановок из п элементов по п определяется по формуле

,

где выражение п! читается как п факториал и равно произведению всех натуральных чисел от 1 до п:

. (.2)

Это произведение можно разбить скобками в любом месте по свойству ассоциативности произведения и записать его в следующем виде

Будем использовать это свойство в дальнейшем. Кроме того, полагается, что 0!=1

 

Пример 1. Дан набор цифр 1, 2, 3. Составим из них перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1); (3,1,2), (3,2,1), т.е. имеем 6 различных комбинаций. И по формуле 3.2 получаем такой же ответ: .

 

Далее, выберем из множества п ровно к элементов.

1. Если элементы в выборках могут повторяться, то общее количество таких комбинаций равно

,

где к может быть больше п.

Пример 2. Сколько 4-значных телефонных номеров можно составить из цифр 1,2,3?

Примерами таких номеров могут служить (1,2,3,1), (1,1,1,1,), (2,3,1, 2) и т. д. Общее число номеров равно 3⁴ = 81.

 

2. Если элементы в выборках не повторяются, то есть , и важно место, которое занимает каждый из элементов, то полученные таким образом комбинации элементов называются размещениями. Их обозначают , а общее количество определяют по формуле:

(.3)

Отметим, что , .

Пример 3. Сколько нарядов полиции можно составить из 3 человек, если каждый наряд состоит из 2 человек, причем 1 объявляется старшим и второй подчиненным?

Поскольку здесь важно место, которое занимает каждый из выбранных полицейских, то по формуле (3.3)

- возможных вариантов нарядов.

 

3. Если выборки из n элементов по k элементов не зависят от порядка и отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, то их называют сочетаниями, обозначают и их количество вычисляют по формуле

(.4)

Заметим, что , и

Так, выборки по 2 цифры из трех 1,2,3, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, имеют вид (1,2), (1,3), (2,3). Их количество по формуле (3,4) тоже равно 3, как и количество нарядов из 3 человек по 2, где нет старшего и младшего.

Таким образом, выбор формул размещения или сочетания для решения определяется смыслом задачи: нужно или нет учитывать порядок выбора элементов.

Пример 4. На собрании группы из 30 студентов должны выбрать 3 делегатов на ежегодную общеуниверситетскую конференцию, а также старосту, профорга и физорга. Найти число способов, которыми будет составлена делегация и число способов, которыми может быть составлена организаторская тройка.

Решение. При выборе делегатов не надо учитывать порядок избранных, т.к. все члены делегации равноправны. Поэтому каждый такой выбор будет сочетанием из 30 по 3. Однако, выбирая старосту, профорга и физорга из тех же студентов, порядок уже приходится учитывать. В этом случае каждый конкретный результат будет размещением из 30 по 3. Поэтому

возможных делегаций и

= возможных вариантов на выбранные места старосты, физорга и профорга.

 

Применение комбинаторики для решения задач.

Покажем, как использовать формулы комбинаторики для решения задач.

Пример 5. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее извлекают два шара. Найти вероятность того, что:

А – будут извлечены 2 белых шара, либо

В - извлекут красный и синий шары.

Решение. Поскольку здесь не важен порядок и шары не возвращаются обратно в урну, то для решения будем применять сочетания. Найдем общее и благоприятствующее число возможных исходов для обоих вариантов выборок.

, , т.к. требуем выполнения сразу 2 условий: красный и синий шары одновременно.

Соответствующие вероятности: и .

Основное условие задачи требует выполнения либо А, либо В условий, то по аксиоме сложения независимых событий получаем: .