Начисление непрерывных процентов.

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно, т.е. скачкообразно. Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов, которую мы рассматривали на прошлой лекции.

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги.

В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то не много изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений.

Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a, разность – приращением функции в точке a.

Определение 1 Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

.

Например, функция непрерывна в точке и во всех точках её существования. Её график представляет собой сплошную линию (рис.5)

рис. 5.

Очевидно, что чем меньше приращение аргумента x, тем меньше приращение функции y.

Поскольку непрерывность функции играет важную роль, дадим более полное её определение на языке пределов.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой:

;

3) предел функции при х ® а равен значению функции в этой точке, т.е:

.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв. На рис. 6 – 8 показаны функции, имеющие разрыв.

рис.6 рис.7

рис.8

В первом случае непрерывность нарушена в т. с координатами (0,1) – пустая или «выколотая» точка, что говорит о том, что функция в ней не определена. Доопределив эту функцию, т.е. положив дополнительно , мы устраним этот разрыв. Поэтому такие точки называются точками устранимого разрыва.

Во втором случае (рис.7.) в т. х = 2 – функция претерпевает так называемый скачкообразный разрыв». Нарушено второе требование непрерывности: односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

В третьем случае (рис.8.) в т. х = 2 функция претерпевает бесконечный разрыв. Оба односторонних предела не существуют. Точки ветвей их графиков уходят в .

Пример 1. Построить график и определить характер

точек разрыва: