Модуль 3: Линейные операторы

29. Линейные отображения, матрицы, замена базисов, инвариантность ранга.

30. .

31. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Ранг и определитель линейного оператора.

32. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм для линейного пространства над полем размерности , .

33. Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.

34. Докажите, что определение характеристического многочлена корректно, то есть не зависит от выбора базиса.

35. Собственные векторы и значения. Число является собственным для линейного оператора тогда и только тогда, когда - корень характеристического многочлена.

36. Любой линейный оператор над полем действительных чисел обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.

37. Собственные подпространства. Если - кратность собственного значения линейного оператора , то .

38. Докажите, что система собственных векторов линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям, линейно независима.

39. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора.

40. Пусть - линейный оператор конечномерного линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда существует базис, в котором матрица линейного оператора треугольна.

41. Теорема Гамильтона — Кэли.

42. Минимальный многочлен и его свойства.

43. Линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней.

44. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены. Жорданов базис.

45. Пусть — линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда в имеется жорданов базис для .

46. Единственность жордановой нормальной формы.

47. Пусть - линейный оператор линейного пространства над алгебраически замкнутым полем . Тогда распадается в прямую сумму корневых подпространств, соответствующих всем (различным) собственным значениям оператора .

48. Значение многочлена от жордановой клетки. Вычисление функции от матрицы (без доказательства).

49. Связь между линейным оператором и билинейной функцией в евклидовом пространстве.

50. В евклидовом пространстве любому линейному оператору отвечает сопряженный оператор и притом только один. Связь операции перехода от оператора к сопряженному оператору с операциями сложения и умножения линейных операторов.

51. Матрица симметрического и ортогонального оператора в ортонормированном базисе.

52. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный или симметрический линейный оператор линейного пространства , - -инвариантное подпространство, - ортогональное дополнение к . Тогда - -инвариантное подпространство.

53. Канонический вид симметрического оператора евклидова пространства.

54. Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства.

55. Приведение квадратичной формы к главным осям в евклидовом пространстве.

56. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.

57. Полярное разложение невырожденного линейного оператора евклидова пространства.

58. Приведение эрмитова и унитарного оператора к каноническому виду в унитарном пространстве.